При каких значениях х имеет смысл выражение: квадратный корень из х^2+10х+16 Помогите, пожалуйста

Выражение имеет смысл при любом значении переменной х, так как под корнем всегда будет неотрицательное число (дискриминант равен 10^2 - 4116 = 100 - 64 = 36, что больше или равно нулю). Таким образом, выражение имеет смысл при любых значениях х.

Чтобы определить, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\sqrt{x^2+10x+16}$, нужно проанализировать область определения этого выражения.

Квадратный корень $\sqrt{A}$ имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A\ge 0$. В нашем случае подкоренное выражение - это $x^2+10x+16$. Следовательно, нам нужно найти, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

$x^2+10x+16\ge 0$

Для этого рассмотрим квадратичное выражение $x^2+10x+16$. Сначала найдем корни этого квадратного уравнения, решив уравнение:

$x^2+10x+16=0$

Используем дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Формула дискриминанта $D$ для уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0$ выглядит так:

$D=b^2-4ac$

В данном случае $a=1$, $b=10$, $c=16$. Подставляем эти значения в формулу:

$D={10}^2-4\cdot 1\cdot 16$ $D=100-64$ $D=36$

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных вещественных корня. Найдём их с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставляем значения $b=10$, $D=36$, $a=1$:

[ x{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} ] [ x{1,2} = \frac{-10 \pm 6}{2} ]

Уравнение имеет два корня:

$x_1=\frac{-10+6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$ $x_2=\frac{-10-6}{2}=\frac{-16}{2}=-8$

Теперь мы знаем, что $x^2+10x+16$ можно разложить на множители:

$x^2+10x+16=(x+2)(x+8)$

Неравенство $(x+2$$x+8$ \geq 0 ) справедливо, когда произведение двух множителей неотрицательно. Это возможно в двух случаях:

1. Оба множителя положительны: $x+2\ge 0$ $x+8\ge 0$

Что эквивалентно $x\ge -2$.

1. Оба множителя отрицательны: $x+2\le 0$ $x+8\le 0$

Что эквивалентно $x\le -8$.

Таким образом, неравенство $(x+2$$x+8$ \geq 0 ) выполняется при $x\le -8$ или $x\ge -2$.

Следовательно, выражение $\sqrt{x^2+10x+16}$ имеет смысл при $x\le -8$ или $x\ge -2$.

Выражение имеет смысл при любых значениях х, так как под корнем всегда будет неотрицательное число.