При каких значениях х имеет смысл выражение: квадратный корень из х^2+10х+16 Помогите, пожалуйста

Выражение имеет смысл при любом значении переменной х, так как под корнем всегда будет неотрицательное число (дискриминант равен 10^2 - 4116 = 100 - 64 = 36, что больше или равно нулю). Таким образом, выражение имеет смысл при любых значениях х.

Чтобы определить, при каких значениях ( x ) имеет смысл выражение (\sqrt{x^2 + 10x + 16}), нужно проанализировать область определения этого выражения.

Квадратный корень (\sqrt{A}) имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение ( A ) неотрицательно, то есть ( A \geq 0 ). В нашем случае подкоренное выражение - это ( x^2 + 10x + 16 ). Следовательно, нам нужно найти, при каких значениях ( x ) выполняется неравенство:

[ x^2 + 10x + 16 \geq 0 ]

Для этого рассмотрим квадратичное выражение ( x^2 + 10x + 16 ). Сначала найдем корни этого квадратного уравнения, решив уравнение:

[ x^2 + 10x + 16 = 0 ]

Используем дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Формула дискриминанта ( D ) для уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) выглядит так:

[ D = b^2 - 4ac ]

В данном случае ( a = 1 ), ( b = 10 ), ( c = 16 ). Подставляем эти значения в формулу:

[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 ] [ D = 100 - 64 ] [ D = 36 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных вещественных корня. Найдём их с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения ( b = 10 ), ( D = 36 ), ( a = 1 ):

[ x{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} ] [ x{1,2} = \frac{-10 \pm 6}{2} ]

Уравнение имеет два корня:

[ x_1 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ] [ x_2 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ]

Теперь мы знаем, что ( x^2 + 10x + 16 ) можно разложить на множители:

[ x^2 + 10x + 16 = (x + 2)(x + 8) ]

Неравенство ( (x + 2)(x + 8) \geq 0 ) справедливо, когда произведение двух множителей неотрицательно. Это возможно в двух случаях:

1. Оба множителя положительны: [ x + 2 \geq 0 ] [ x + 8 \geq 0 ]

Что эквивалентно ( x \geq -2 ).

1. Оба множителя отрицательны: [ x + 2 \leq 0 ] [ x + 8 \leq 0 ]

Что эквивалентно ( x \leq -8 ).

Таким образом, неравенство ( (x + 2)(x + 8) \geq 0 ) выполняется при ( x \leq -8 ) или ( x \geq -2 ).

Следовательно, выражение (\sqrt{x^2 + 10x + 16}) имеет смысл при ( x \leq -8 ) или ( x \geq -2 ).

Выражение имеет смысл при любых значениях х, так как под корнем всегда будет неотрицательное число.