Чтобы определить, при каких значениях имеет смысл выражение , нужно проанализировать область определения этого выражения.
Квадратный корень имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть . В нашем случае подкоренное выражение - это . Следовательно, нам нужно найти, при каких значениях выполняется неравенство:
Для этого рассмотрим квадратичное выражение . Сначала найдем корни этого квадратного уравнения, решив уравнение:
Используем дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Формула дискриминанта для уравнения вида выглядит так:
В данном случае , , . Подставляем эти значения в формулу:
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных вещественных корня. Найдём их с использованием формулы для корней квадратного уравнения:
Подставляем значения , , :
[ x{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} ]
[ x{1,2} = \frac{-10 \pm 6}{2} ]
Уравнение имеет два корня:
Теперь мы знаем, что можно разложить на множители:
Неравенство \geq 0 ) справедливо, когда произведение двух множителей неотрицательно. Это возможно в двух случаях:
- Оба множителя положительны:
Что эквивалентно .
- Оба множителя отрицательны:
Что эквивалентно .
Таким образом, неравенство \geq 0 ) выполняется при или .
Следовательно, выражение имеет смысл при или .