Преобразуйте в произведение и вычислите sin75°+sin15°

sin75°+sin15° = sin(45°+30°) + sin(45°-30°) = (sin45°cos30° + cos45°sin30°) + (sin45°cos30° - cos45°sin30°) = 2sin45°cos30° = 2(√2/2)(√3/2) = √6/2 = √6/2

Для преобразования и вычисления выражения ( \sin 75^\circ + \sin 15^\circ ), можно воспользоваться тригонометрическими формулами, в частности формулами для суммы синусов и косинусов.

Существует формула для суммы синусов, которая выглядит следующим образом:

[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right) ]

Применим эту формулу к нашему выражению ( \sin 75^\circ + \sin 15^\circ ):

1. Выразим ( A ) и ( B ):

   • ( A = 75^\circ )
   • ( B = 15^\circ )

2. Подставим ( A ) и ( B ) в формулу:

[ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin \left( \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} \right) ]

1. Вычислим значения внутри аргументов синуса и косинуса:
   • ( \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ )
   • ( \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ )

Таким образом, наше выражение преобразуется в:

[ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ ]

Теперь найдём значения синуса и косинуса для этих углов:

• ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} )
• ( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} )

Подставим эти значения в наше выражение:

[ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Упростим это выражение:

[ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ = \frac{\sqrt{6}}{2} ]

Таким образом, выражение ( \sin 75^\circ + \sin 15^\circ ) преобразуется в произведение и вычисляется как ( \frac{\sqrt{6}}{2} ).

Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой синуса суммы углов: sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB. Таким образом, sin75°+sin15° = sin(45°+30°)+sin(45°-30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° + sin45°cos30° - cos45°sin30° = 2sin45°cos30° = 2(sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2) = sqrt(6)/2.

Итак, sin75°+sin15° = sqrt(6)/2.