Представте в виде произведения: 1)sin 12°+sin 20° 2)sin 52°-sin 32° 3)cos π/10- cos π/20 4)sin π/6 - sin π/9 5)sin α-sin(α+π/3) 6)cos(π/4 + α) - cos(π/4-α)
Представте в виде произведения: 1)sin 12°+sin 20° 2)sin 52°-sin 32° 3)cos π/10- cos π/20 4)sin π/6 - sin π/9 5)sin α-sin(α+π/3) 6)cos(π/4 + α) - cos(π/4-α)
Для представления тригонометрических выражений в виде произведения используются формулы суммы и разности синусов и косинусов. Рассмотрим каждое выражение по отдельности:
Формула суммы синусов: [ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) ]
Применим эту формулу: [ A = 12^\circ, \; B = 20^\circ ] [ \sin 12^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin \left( \frac{12^\circ + 20^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{20^\circ - 12^\circ}{2} \right) ] [ = 2 \sin (16^\circ) \cos (4^\circ) ]
Формула разности синусов: [ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) ]
Применим эту формулу: [ A = 52^\circ, \; B = 32^\circ ] [ \sin 52^\circ - \sin 32^\circ = 2 \cos \left( \frac{52^\circ + 32^\circ}{2} \right) \sin \left( \frac{52^\circ - 32^\circ}{2} \right) ] [ = 2 \cos (42^\circ) \sin (10^\circ) ]
Формула разности косинусов: [ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) ]
Применим эту формулу: [ A = \frac{\pi}{10}, \; B = \frac{\pi}{20} ] [ \cos \frac{\pi}{10} - \cos \frac{\pi}{20} = -2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{20}}{2} \right) ] [ = -2 \sin \left( \frac{3\pi}{20} \right) \sin \left( \frac{\pi}{40} \right) ]
Формула разности синусов: [ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) ]
Применим эту формулу: [ A = \frac{\pi}{6}, \; B = \frac{\pi}{9} ] [ \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{9} = 2 \cos \left( \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{9}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{9}}{2} \right) ] [ = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{18} \right) \sin \left( \frac{\pi}{18} \right) ]
Формула разности синусов: [ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) ]
Применим эту формулу: [ A = \alpha, \; B = \alpha + \frac{\pi}{3} ] [ \sin \alpha - \sin \alpha - \frac{\pi}{3} = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \alpha + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - (\alpha + \frac{\pi}{3})}{2} \right) ] [ = 2 \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) ] [ = -2 \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) ] [ = -2 \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{1}{2} ] [ = -\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) ]
Формула разности косинусов: [ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) ]
Применим эту формулу: [ A = \frac{\pi}{4} + \alpha, \; B = \frac{\pi}{4} - \alpha ] [ \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = -2 \sin \left( \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} \right) \sin \left( \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} \right) ] [ = -2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{2}}{2} \right) \sin \left( \frac{2\alpha}{2} \right) ] [ = -2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin (\alpha) ] [ = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\alpha) ] [ = -\sqrt{2} \sin (\alpha) ]
Таким образом, все выражения представлены в виде произведения.
1) sin 12° + sin 20° = 2sin 16°cos 4° 2) sin 52° - sin 32° = 2cos 42°sin 10° 3) cos π/10 - cos π/20 = 2sin 3π/20sin π/20 4) sin π/6 - sin π/9 = 2cos π/3sin π/18 5) sin α - sin(α + π/3) = -√3sin(α + π/6) 6) cos(π/4 + α) - cos(π/4 - α) = -√2sinα
1) sin 12° + sin 20° = 2sin(16°)cos(4°) 2) sin 52° - sin 32° = 2cos(42°)sin(10°) 3) cos π/10 - cos π/20 = -2sin(3π/20)sin(π/20) 4) sin π/6 - sin π/9 = 2cos(π/6)sin(π/18) 5) sin α - sin(α + π/3) = -√3cos(α + π/6) 6) cos(π/4 + α) - cos(π/4 - α) = -2sin(α)
