Прямоугольная трапеция с основаниями 12см и 15 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания.Найдите...

Для решения данной задачи нам необходимо найти боковую поверхность тела вращения, которая представляет собой боковую поверхность усеченного конуса.

Для этого сначала найдем длину боковой стороны трапеции. По теореме Пифагора: ( a^2 + h^2 = b^2 ), где ( a ) - половина разности оснований, ( b ) - длина боковой стороны, ( h ) - высота трапеции.

Подставим известные значения: ( a = \frac{15-12}{2} = 1.5 ) см, ( h = 4 ) см, ( b = \sqrt{1.5^2 + 4^2} = \sqrt{6.25} = 2.5 ) см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности тела вращения, которая равна произведению длины боковой стороны на окружность, ограничивающую трапецию. Окружность радиуса ( r = 1.5 ) см, поэтому длина окружности равна ( 2\pi r = 3\pi ) см.

Площадь боковой поверхности тела вращения равна ( S = b \cdot 3\pi = 2.5 \cdot 3\pi = 7.5\pi ) см².

Таким образом, площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции равна ( 7.5\pi ) квадратных сантиметров.

Чтобы найти площадь поверхности тела вращения, полученного при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее меньшего основания, нужно рассмотреть фигуру, получающуюся в результате такого вращения: усеченный конус с цилиндром.

1. Определение элементов вращения:

   • Меньшее основание трапеции, вокруг которого происходит вращение: 12 см.
   • Большее основание: 15 см.
   • Высота трапеции: 4 см.

2. Определение радиусов:

   • Радиус нижнего основания усеченного конуса (равен меньшему основанию трапеции): ( R_1 = 12 ) см.
   • Радиус верхнего основания усеченного конуса (разница между основаниями): ( R_2 = 15 - 12 = 3 ) см.

3. Высота усеченного конуса:

   • Высота совпадает с высотой трапеции: ( h = 4 ) см.

4. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

   • Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: [ S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l ]
   • Для вычисления образующей ( l ) используем теорему Пифагора: [ l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{4^2 + (12 - 3)^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} ]
   • Подставляем значения: [ S_{\text{бок}} = \pi (12 + 3) \sqrt{97} = 15\pi \sqrt{97} \, \text{см}^2 ]

5. Площадь основания цилиндра (которое является частью поверхности вращения):

   • Площадь основания ( S_{\text{осн}} = \pi R_2^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \, \text{см}^2 )

6. Полная площадь поверхности тела вращения:

   • Полная площадь равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: [ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 15\pi \sqrt{97} + 9\pi ]

Следовательно, площадь поверхности тела вращения составляет ( 15\pi \sqrt{97} + 9\pi ) квадратных сантиметров.

Площадь поверхности тела вращения будет равна 612 кв. см.