Прямая y=-7x-5 является касательной к графику функции 28x^2 +bx +2 . Найдите b, учитывая, что абсцисса...

Для того чтобы прямая y=-7x-5 была касательной к графику функции f(x) = 28x^2 + bx + 2, необходимо, чтобы у них совпадала абсцисса точки касания и чтобы у них была общая точка касания.

Пусть точка касания имеет абсциссу x0. Тогда уравнение прямой, проходящей через точку (x0, f(x0)) и имеющей угловой коэффициент -7, будет иметь вид y = -7(x - x0) + f(x0). Подставим в это уравнение координаты точки касания, т.е. x0 и f(x0), и приравняем его к уравнению функции f(x):

-7(x - x0) + f(x0) = 28x^2 + bx + 2.

Так как прямая и график функции должны иметь общую точку касания, то это уравнение должно иметь решение при x = x0. Значит, подставим x = x0 и приравняем производные функций в этой точке:

f'(x0) = -7.

Найдем производную функции f(x) = 28x^2 + bx + 2: f'(x) = 56x + b. Тогда подставим x = x0 и приравняем производную к -7:

56x0 + b = -7.

Также учитывая, что абсцисса точки касания больше 0, то есть x0 > 0, получаем систему уравнений:

-7(x - x0) + f(x0) = 28x^2 + bx + 2, 56x0 + b = -7, x0 > 0.

Решив эту систему уравнений, мы найдем значение b, удовлетворяющее условиям задачи.

Чтобы найти значение ( b ), начнём с того, что прямая ( y = -7x - 5 ) является касательной к графику функции ( f(x) = 28x^2 + bx + 2 ). Это значит, что у нас есть точка касания, в которой прямая и парабола имеют одинаковую производную (наклон) и одинаковое значение функции.

1. Нахождение производной функции:
   Функция ( f(x) = 28x^2 + bx + 2 ). Производная этой функции будет:
   [ f'(x) = 56x + b ]

2. Сравнение производной и наклона касательной:
   Поскольку прямая является касательной, её наклон (коэффициент при ( x )) равен производной функции в точке касания. Следовательно: [ 56x + b = -7 ]

3. Нахождение точки касания:
   Прямая ( y = -7x - 5 ) и функция ( f(x) = 28x^2 + bx + 2 ) должны иметь одинаковое значение в точке касания. Это значит: [ 28x^2 + bx + 2 = -7x - 5 ]

4. Решение системы уравнений:
   Теперь у нас есть две системы уравнений: [ \begin{cases} 56x + b = -7 \ 28x^2 + bx + 2 = -7x - 5 \end{cases} ]

   Упростим второе уравнение: [ 28x^2 + bx + 2 = -7x - 5 \implies 28x^2 + bx + 7x + 7 = 0 \implies 28x^2 + (b+7)x + 7 = 0 ]

   Это квадратное уравнение должно иметь один корень (т.к. линия касается параболы в одной точке). Для этого дискриминант должен быть равен нулю: [ D = (b+7)^2 - 4 \cdot 28 \cdot 7 = 0 ]

5. Вычисление дискриминанта: [ (b+7)^2 - 784 = 0 \implies (b+7)^2 = 784 ]

   [ b+7 = \pm 28 ]

   Получаем два решения для ( b ): [ b+7 = 28 \quad \Rightarrow \quad b = 21 ] [ b+7 = -28 \quad \Rightarrow \quad b = -35 ]

   Поскольку абсцисса точки касания больше 0, рассмотрим ( b = 21 ).

6. Проверка положительности абсциссы:
   Подставляем ( b = 21 ) в уравнение производной: [ 56x + 21 = -7 \implies 56x = -28 \implies x = -\frac{1}{2} ]

   Поскольку абсцисса должна быть больше 0, пересмотрим наши вычисления. Похоже, что я сделал ошибку в рассмотрении корней. Проверьте снова дискриминант и вычисления. Действительное решение, обеспечивающее положительное значение ( x ), возможно, будет при другом значении ( b ). В этом случае рассмотрите ( b = -35 ).

   Получаем: [ b+7 = -28 \quad \Rightarrow \quad b = -35 ]

   Соответствующая положительная абсцисса должна быть проверена: [ 56x - 35 = -7 \implies 56x = 28 \implies x = \frac{1}{2} ]

Таким образом, значение ( b ) равно (-35).