Постройте графики функции и запишите свойства данной функции: у = 3х² 

График функции у = 3х² - это парабола, которая открывается вверх. Функция является квадратичной и имеет вершину в точке (0,0).

Давайте рассмотрим функцию ( y = 3x^2 ) и разберем её график и свойства.

Построение графика

Функция ( y = 3x^2 ) является квадратичной функцией, а её график представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при ( x^2 ) (то есть 3) положителен, ветви параболы направлены вверх.

1. Вершина параболы: Вершина параболы находится в точке (0, 0), так как функция имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 3 ), ( b = 0 ), и ( c = 0 ).

2. Ось симметрии: Парабола симметрична относительно оси ( y ).

3. Точки на графике:

   • Подставим несколько значений ( x ) для нахождения соответствующих ( y ):
     • ( x = 0 ), тогда ( y = 3(0)^2 = 0 ).
     • ( x = 1 ), тогда ( y = 3(1)^2 = 3 ).
     • ( x = -1 ), тогда ( y = 3(-1)^2 = 3 ).
     • ( x = 2 ), тогда ( y = 3(2)^2 = 12 ).
     • ( x = -2 ), тогда ( y = 3(-2)^2 = 12 ).

4. График: Эти точки ( (0, 0), (1, 3), (-1, 3), (2, 12), (-2, 12) ) показывают, как парабола поднимается вверх от вершины.

Свойства функции

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, ( x \in (-\infty, +\infty) ).

2. Область значений: Поскольку парабола направлена вверх, область значений начинается от вершины и вверх: ( y \in [0, +\infty) ).

3. Четность: Функция чётная, поскольку ( f(-x) = f(x) ). Это видно из симметрии графика относительно оси ( y ).

4. Интервалы монотонности:

   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, 0) ).
   • Функция возрастает на интервале ( (0, +\infty) ).

5. Экстремумы: Минимальное значение функции равно 0 и достигается в точке ( x = 0 ).

6. Поведением на бесконечности: При ( x \to \pm\infty ), ( y \to +\infty ).

Таким образом, график функции ( y = 3x^2 ) представляет собой параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси ( y ), и с ветвями, направленными вверх.

Для построения графика функции у = 3х² мы можем использовать координатную плоскость. Функция является квадратичной, что означает, что график будет представлять собой параболу.

Свойства данной функции:

1. Вершина параболы будет расположена в точке (0,0), так как коэффициент при х равен 3.
2. Парабола будет направлена вверх, так как коэффициент при х² положительный.
3. График функции будет симметричен относительно оси ординат.
4. Функция у = 3х² будет иметь только положительные значения на оси у.

Таким образом, график функции у = 3х² будет представлять собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (0,0) и симметричную относительно оси ординат.