Постройте график функций y=2/x и y=x+1

Чтобы построить графики функций ( y = \frac{2}{x} ) и ( y = x + 1 ), давайте рассмотрим их отдельно.

Функция ( y = \frac{2}{x} )

1. Определение и свойства:

   • Это гипербола.
   • Функция определена для всех ( x \neq 0 ).
   • Имеет вертикальную асимптоту при ( x = 0 ) и горизонтальную асимптоту при ( y = 0 ).

2. Построение:

   • Для положительных значений ( x ), например, если ( x = 1 ), то ( y = 2 ). Если ( x = 2 ), то ( y = 1 ).
   • Для отрицательных значений ( x ), например, если ( x = -1 ), то ( y = -2 ). Если ( x = -2 ), то ( y = -1 ).
   • График будет состоять из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях координатной плоскости.

3. Поведение:

   • При ( x \to 0^+ ), ( y \to +\infty ).
   • При ( x \to 0^- ), ( y \to -\infty ).
   • При ( x \to +\infty ) или ( x \to -\infty ), ( y \to 0 ).

Функция ( y = x + 1 )

1. Определение и свойства:

   • Это линейная функция.
   • Угловой коэффициент равен 1, что означает, что прямая поднимается под углом 45° к оси абсцисс.
   • Пересекает ось ординат в точке ( (0, 1) ).

2. Построение:

   • Найдём две точки для построения прямой. Если ( x = 0 ), то ( y = 1 ). Если ( x = 1 ), то ( y = 2 ).
   • Соединяем эти точки, чтобы получить прямую, проходящую через точки ( (0, 1) ) и ( (1, 2) ).

3. Поведение:

   • Прямая бесконечно продолжается в обе стороны.
   • С увеличением ( x ), значение ( y ) также увеличивается.

Сравнение и пересечение

• Точки пересечения: Чтобы найти точки пересечения графиков, решим уравнение: [ \frac{2}{x} = x + 1. ] Умножим обе стороны на ( x ) (предполагая, что ( x \neq 0 )): [ 2 = x(x + 1), ] [ x^2 + x - 2 = 0. ] Решим квадратное уравнение: [ (x - 1)(x + 2) = 0. ] Отсюда ( x = 1 ) или ( x = -2 ).

• Координаты точек пересечения:

  • Для ( x = 1 ): ( y = \frac{2}{1} = 2 ) и ( y = 1 + 1 = 2 ), точка пересечения ( (1, 2) ).
  • Для ( x = -2 ): ( y = \frac{2}{-2} = -1 ) и ( y = -2 + 1 = -1 ), точка пересечения ( (-2, -1) ).

Таким образом, графики функций пересекаются в точках ( (1, 2) ) и ( (-2, -1) ).

Для построения графика функций y=2/x и y=x+1 нужно выполнить следующие шаги:

1. Для функции y=2/x построим таблицу значений: x | y 0.5 | 4 1 | 2 2 | 1 4 | 0.5 8 | 0.25

2. Для функции y=x+1 также построим таблицу значений: x | y -1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3 | 4

3. Построим графики обеих функций на одном координатном пространстве. График функции y=2/x будет представлять собой гиперболу, проходящую через точку (1,2) и огибающую оси координат. График функции y=x+1 будет представлять собой прямую, проходящую через точку (0,1) и имеющую угловой коэффициент 1.

Таким образом, после построения графиков функций y=2/x и y=x+1 можно увидеть их взаимное расположение на координатной плоскости и исследовать их поведение при изменении значений переменных x и y.