Постройте график функций у= система x^2-4x+5,если х>1 x+1, если x<1 и определить при каких значениях у=m имеет с графиком ровно две общие точки
Постройте график функций у= система x^2-4x+5,если х>1 x+1, если x<1 и определить при каких значениях у=m имеет с графиком ровно две общие точки
Для построения графика данной кусочной функции ( y ) и определения значений ( m ), при которых прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно две общие точки, следует рассмотреть каждый кусок функции отдельно:
Функция ( y = x^2 - 4x + 5 ) для ( x > 1 ):
Это квадратичная функция, которая представляет собой параболу. Стандартная форма квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) позволяет определить направление ветвей параболы. Коэффициент ( a = 1 ) положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Для нахождения вершины параболы используем формулу для координаты вершины ( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ). Подставим ( x = 2 ) в уравнение для нахождения координаты ( y ) вершины: [ y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1. ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (2, 1) ). Ветка параболы начинается с точки ( x = 1 ) и далее для ( x > 1 ).
Функция ( y = x + 1 ) для ( x < 1 ):
Это линейная функция с угловым коэффициентом 1 и начальным значением 1. График представляет собой прямую линию, которая проходит через точки ( (0, 1) ) и ( (1, 2) ). Однако, функция определена только для ( x < 1 ).
Теперь, чтобы определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) пересекает график функции ровно в двух точках, рассмотрим пересечения для каждой части:
Для параболы ( y = x^2 - 4x + 5 ) решаем уравнение ( x^2 - 4x + 5 = m ). Это квадратное уравнение [ x^2 - 4x + (5 - m) = 0. ] Дискриминант этого уравнения равен ( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - m) = 16 - 20 + 4m = 4m - 4 ).
Для пересечения в двух точках дискриминант должен быть положительным (( D > 0 )), то есть: [ 4m - 4 > 0 \Rightarrow m > 1. ]
Для прямой ( y = x + 1 ), чтобы ( y = m ) пересекала эту часть в одной точке, необходимо ( m = x + 1 ) для ( x < 1 ). Это возможно, если ( m < 2 ).
Теперь объединим условия:
Следовательно, ( m ) должно находиться в интервале ( 1 < m < 2 ).
Таким образом, при ( 1 < m < 2 ) прямая ( y = m ) имеет ровно две общие точки с графиком функции.
Для построения графика данной функции необходимо разделить ось x на два интервала: x > 1 и x < 1.
Для интервала x > 1 функция y = x^2 - 4x + 5 является параболой, которая открывается вверх и вершина которой находится в точке (2, 1). График этой функции будет представлять собой параболу, которая начинается с точки (1, 2) и стремится к бесконечности при приближении к оси x.
Для интервала x < 1 функция y = x + 1 является прямой линией с наклоном 1 и пересекает ось y в точке (0, 1). График этой функции будет представлять собой прямую линию, которая проходит через точку (0, 1) и стремится к минус бесконечности при приближении к оси x.
Чтобы найти значения у = m, при которых график функции имеет ровно две общие точки, необходимо построить графики обеих функций и определить их точки пересечения. Эти точки будут соответствовать значениям у = m, при которых графики имеют две общие точки.
