Постройте график функции y=(x^2+4)(x+1)/-1-x и определите, при каких значениях k прямая у=kx имеет с...

Для начала построим график функции y=(x^2+4)(x+1)/-1-x. Для этого нужно найти точки пересечения с осями координат, экстремумы и поведение функции при устремлении x к плюс и минус бесконечности.

1. Найдем точки пересечения с осями координат: y=0, т.е. (x^2+4)(x+1)/-1-x=0 x=-1, x=2 - это корни уравнения, следовательно, график функции пересекает ось x в точках (-1,0) и (2,0).

2. Найдем экстремумы функции: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = (2x+1)(x+1)(x^2+4)/(-1-x)^2 Точки экстремума: x=-1/2 и x=-1 + √3i, x=-1 - √3i - экстремумов на вещественной оси нет.

3. Проанализируем поведение функции при устремлении x к плюс и минус бесконечности: lim(x->+∞) (x^2+4)(x+1)/-1-x = +∞ lim(x->-∞) (x^2+4)(x+1)/-1-x = -∞ Из этого следует, что график функции стремится к плюс и минус бесконечности при устремлении x к плюс и минус бесконечности соответственно.

Теперь определим при каких значениях k прямая у=kx имеет с графиком 1 общую точку. Для этого подставим у=kx в у=(x^2+4)(x+1)/-1-x и решим уравнение относительно x: kx=(x^2+4)(x+1)/-1-x x^2 + x - kx - 4 = 0 При существовании одного корня у уравнения x^2 + x - kx - 4 = 0 прямая у=kx имеет с графиком функции 1 общую точку.

Таким образом, для заданных функции и прямой у=kx общая точка будет существовать при определенных значениях k, которые можно найти решив уравнение x^2 + x - kx - 4 = 0.

Для построения графика функции y=(x^2+4)(x+1)/-1-x и определения значений k, при которых прямая у=kx имеет с графиком 1 общую точку, необходимо решить систему уравнений y=(x^2+4)(x+1)/-1-x и y=kx.

Сначала найдем общую точку для обоих графиков, приравняв выражения y=(x^2+4)(x+1)/-1-x и y=kx:

(x^2+4)(x+1)/-1-x = kx

Далее решим это уравнение относительно x и k. Полученные значения x и k будут определять точку пересечения графиков.

Таким образом, при найденных значениях k прямая у=kx будет иметь с графиком функции y=(x^2+4)(x+1)/-1-x 1 общую точку.

Давайте сначала упростим исходную функцию и исследуем ее свойства, а затем найдем необходимые значения k.

Упрощение функции

Исходная функция: [ y = \frac{(x^2 + 4)(x+1)}{-1-x} ]

Так как знаменатель можно записать как (-1-x = -(1+x)), функция принимает вид: [ y = \frac{(x^2 + 4)(x+1)}{-(x+1)} ]

Если (x \neq -1), то можно сократить на ((x+1)): [ y = -(x^2 + 4) ]

Таким образом, функция (y = -(x^2 + 4)) определена для всех (x), кроме (x = -1), где функция имеет вертикальную асимптоту.

График функции

Функция (y = -(x^2 + 4)) представляет собой параболу, отраженную относительно оси x (из-за минуса перед выражением) и опущенную вниз на 4 единицы. Вершина этой параболы находится в точке ( (0, -4) ). Поскольку функция не определена при (x = -1), на графике будет вертикальная асимптота в (x = -1).

Поиск значений k

Чтобы прямая (y = kx) имела ровно одну общую точку с графиком, она должна касаться параболы. Подставим (y = kx) в уравнение параболы: [ kx = -(x^2 + 4) ] [ x^2 + kx + 4 = 0 ]

Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение (касание), дискриминант квадратного уравнения должен быть равен 0: [ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16 = 0 ] [ k^2 = 16 ] [ k = \pm 4 ]

Вывод

Прямая (y = kx) имеет ровно одну общую точку с графиком функции при (k = 4) и (k = -4). Это значит, что такие прямые касаются параболы.