Постройте график функции y=-x^2-3x+4 Нфйдите по графику: а) значение y при x=-1 б) значение x при которых...

Для построения графика функции y=-x^2-3x+4 сначала выразим уравнение в виде y=a(x-h)^2+k, где a=-1, h=-3/2, k=4. Таким образом, у нас имеется парабола, которая симметрична относительно вертикальной оси симметрии x=-3/2.

а) Для нахождения значения y при x=-1 подставим x=-1 в уравнение: y=-(-1)^2-3(-1)+4=2. Таким образом, значение y при x=-1 равно 2.

б) Для нахождения значений x при которых y=4, подставим y=4 в уравнение: 4=-x^2-3x+4. Решив квадратное уравнение, получим два корня x=0 и x=-3. Таким образом, значения x при которых y=4 равны 0 и -3.

в) Нули функции - это точки пересечения графика с осью x, где y=0. Решим уравнение -x^2-3x+4=0. Получим два корня x=1 и x=4. Таким образом, нули функции равны 1 и 4.

г) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции проанализируем коэффициент при x^2, который равен -1. Так как коэффициент отрицательный, функция убывает на всей области определения.

Чтобы построить график функции ( y = -x^2 - 3x + 4 ), начнем с анализа. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Поскольку перед ( x^2 ) стоит отрицательный знак, ветви параболы направлены вниз.

Построение графика

1. Вершина параболы: Формула для нахождения вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) — это ( x = -\frac{b}{2a} ).

   • Здесь ( a = -1 ), ( b = -3 ), ( c = 4 ).
   • ( x = -\frac{-3}{2 \times -1} = \frac{3}{2} = 1.5 ).

2. Угловая точка: Подставим ( x = 1.5 ) в функцию, чтобы найти ( y ):

   • ( y = -(1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 4 = -2.25 - 4.5 + 4 = -2.75 ).
   • Вершина параболы: ( (1.5, -2.75) ).

3. Нули функции: Решим уравнение ( -x^2 - 3x + 4 = 0 ).

   • Используем дискриминант: ( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 9 + 16 = 25 ).
   • Корни: ( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{-2} ).
   • ( x_1 = \frac{3 + 5}{-2} = -4 ).
   • ( x_2 = \frac{3 - 5}{-2} = 1 ).

Таким образом, парабола пересекает ось ( x ) в точках ( x = -4 ) и ( x = 1 ).

Анализ графика

Теперь перейдем к анализу и ответам на вопросы:

а) Значение ( y ) при ( x = -1 ):

• Подставим ( x = -1 ) в уравнение ( y = -(-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 4 ).
• ( y = -1 + 3 + 4 = 6 ).

б) Значение ( x ) при которых ( y = 4 ):

• Решим уравнение ( -x^2 - 3x + 4 = 4 ).
• ( -x^2 - 3x + 4 - 4 = 0 ) → ( -x^2 - 3x = 0 ).
• ( -x(x + 3) = 0 ).
• ( x = 0 ) или ( x = -3 ).

в) Нули функции:

• Мы уже нашли нули функции: ( x = -4 ) и ( x = 1 ).

г) Промежутки возрастания и убывания функции:

• Поскольку парабола направлена вниз, она убывает на интервале ( (-\infty, 1.5) ) и возрастает на интервале ( (1.5, \infty) ).

Таким образом, мы охватили все необходимые аспекты анализа функции и её графика.