Постройте график функции y=4|x+6|−x2−11x−30 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком...

Для построения графика функции y=4|x+6|−x^2−11x−30 сначала нужно найти корни уравнения y=m. Далее, приравниваем функцию к m и находим значения x, при которых функция пересекает прямую y=m в 3 точках.

Чтобы построить график функции ( y = 4|x+6| - x^2 - 11x - 30 ) и определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно три общие точки, давайте пошагово разберем задачу.

1. Разбиение функции на куски

Функция содержит модуль ( |x+6| ), поэтому нужно рассмотреть два случая:

1. ( x + 6 \geq 0 ) (то есть ( x \geq -6 ))
2. ( x + 6 < 0 ) (то есть ( x < -6 ))

Случай 1: ( x \geq -6 )

В этом случае ( |x+6| = x+6 ).

Функция принимает вид: [ y = 4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 ] [ y = 4x + 24 - x^2 - 11x - 30 ] [ y = -x^2 - 7x - 6 ]

Случай 2: ( x < -6 )

В этом случае ( |x+6| = -(x+6) ).

Функция принимает вид: [ y = 4(-(x + 6)) - x^2 - 11x - 30 ] [ y = -4x - 24 - x^2 - 11x - 30 ] [ y = -x^2 - 15x - 54 ]

2. Построение графика

Теперь у нас есть две кусочные функции:

1. ( y = -x^2 - 7x - 6 ) для ( x \geq -6 )
2. ( y = -x^2 - 15x - 54 ) для ( x < -6 )

Построим графики обеих функций:

1. График функции ( y = -x^2 - 7x - 6 ): Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину и точки пересечения с осью ( y ) и ( x ).

   Вершина параболы: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2(-1)} = \frac{7}{2} ]

   Значение функции в вершине: [ y\left(\frac{7}{2}\right) = -\left(\frac{7}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{2}\right) - 6 ] [ y\left(\frac{7}{2}\right) = -\frac{49}{4} - \frac{49}{2} - 6 = -\frac{49}{4} - \frac{98}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{171}{4} ]

   Точки пересечения с осью ( y ): [ y(0) = -0^2 - 7 \cdot 0 - 6 = -6 ]

   Точки пересечения с осью ( x ): [ -x^2 - 7x - 6 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 7x + 6 = 0 ] [ (x+1)(x+6) = 0 ] [ x = -1 ] [ x = -6 ]

2. График функции ( y = -x^2 - 15x - 54 ): Это также парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем вершину и точки пересечения с осью ( y ) и ( x ).

   Вершина параболы: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2(-1)} = \frac{15}{2} ]

   Значение функции в вершине: [ y\left(\frac{15}{2}\right) = -\left(\frac{15}{2}\right)^2 - 15\left(\frac{15}{2}\right) - 54 ] [ y\left(\frac{15}{2}\right) = -\frac{225}{4} - \frac{225}{2} - 54 = -\frac{225}{4} - \frac{450}{4} - \frac{216}{4} = -\frac{891}{4} ]

   Точки пересечения с осью ( y ): [ y(0) = -0^2 - 15 \cdot 0 - 54 = -54 ]

   Точки пересечения с осью ( x ): [ -x^2 - 15x - 54 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 15x + 54 = 0 ] [ (x+6)(x+9) = 0 ] [ x = -6 ] [ x = -9 ]

3. Определение значения ( m ), при котором прямая ( y = m ) имеет ровно три общие точки с графиком

Теперь мы имеем две параболы, которые соединяются в точке ( x = -6 ). Чтобы прямая ( y = m ) пересекала график ровно в трех точках, она должна пересекать одну параболу в двух точках и другую в одной точке.

Для параболы ( y = -x^2 - 7x - 6 ):

Рассмотрим уравнение: [ -x^2 - 7x - 6 = m ] [ x^2 + 7x + (6 + m) = 0 ] Для пересечения в двух точках, дискриминант должен быть положительным: [ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 + m) ] [ D = 49 - 4(6 + m) ] [ D = 49 - 24 - 4m ] [ D = 25 - 4m ] [ 25 - 4m > 0 ] [ 25 > 4m ] [ m < \frac{25}{4} ] [ m < 6.25 ]

Для параболы ( y = -x^2 - 15x - 54 ):

Рассмотрим уравнение: [ -x^2 - 15x - 54 = m ] [ x^2 + 15x + (54 + m) = 0 ] Для пересечения в одной точке, дискриминант должен быть равен нулю: [ D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (54 + m) ] [ D = 225 - 4(54 + m) ] [ D = 225 - 216 - 4m ] [ D = 9 - 4m ] [ 9 - 4m = 0 ] [ 9 = 4m ] [ m = \frac{9}{4} ] [ m = 2.25 ]

Таким образом, чтобы прямая ( y = m ) пересекала график функции ровно в трех точках, ( m ) должно быть равно ( 2.25 ).

Для начала построим график функции y=4|x+6|−x^2−11x−30. Для этого сначала определим, где модульная функция равна нулю: x+6=0 => x=-6. Теперь разобьем интервалы на отрицательные и положительные значения x:

1. x