Постройте график функции y=-2- (x+4)/(x^2+4x) и определите,при каких значениях M прямая y=m не имеет...

Для начала разберёмся с функцией ( y = -2 - \frac{x+4}{x^2 + 4x} ).

Шаг 1: Упрощение выражения

Рассмотрим знаменатель ( x^2 + 4x ): [ x^2 + 4x = x(x + 4) ]

Таким образом, функция принимает вид: [ y = -2 - \frac{x+4}{x(x+4)} ]

Теперь упростим дробь: [ \frac{x+4}{x(x+4)} = \frac{1}{x} ]

Следовательно, функция преобразуется: [ y = -2 - \frac{1}{x} ]

Шаг 2: Анализ функции

1. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель дроби равен нулю. В данном случае ( x = 0 ).

   • Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при ( x \rightarrow \pm \infty ). Здесь ( \frac{1}{x} \rightarrow 0 ), и ( y \rightarrow -2 ).

2. Промежутки определения:

   Функция не определена при ( x = 0 ).

3. Особенности графика:

   • При ( x \rightarrow 0^{+} ), ( y \rightarrow -\infty ).
   • При ( x \rightarrow 0^{-} ), ( y \rightarrow +\infty ).

Шаг 3: Построение графика

Построим график функции ( y = -2 - \frac{1}{x} ):

1. Начнем с осей и асимптот:

   • Вертикальная асимптота при ( x = 0 ).
   • Горизонтальная асимптота ( y = -2 ).

2. График функции будет разрывен при ( x = 0 ).

3. Для ( x > 0 ), функция будет убывать от ( +\infty ) до значения, близкого к -2. Для ( x < 0 ), функция будет возрастать от ( -\infty ) до значения, близкого к -2.

Шаг 4: Определение значений ( M ), при которых прямая ( y = M ) не имеет с графиком общих точек

Прямая ( y = M ) не пересекает график функции, если уравнение ( -2 - \frac{1}{x} = M ) не имеет решений.

Рассмотрим уравнение: [ -2 - \frac{1}{x} = M ]

Решим его относительно ( x ): [ \frac{1}{x} = -2 - M ] [ x = \frac{1}{-(2+M)} ]

Для того чтобы это уравнение не имело решений, выражение ( 2 + M ) не должно быть равным нулю: [ 2 + M \neq 0 ] [ M \neq -2 ]

Таким образом, прямая ( y = M ) не имеет общих точек с графиком функции, если ( M = -2 ).

В итоге, при ( M = -2 ), прямая ( y = M ) не пересекает график функции ( y = -2 - \frac{1}{x} ).

Для начала построим график функции y = -2 - (x+4)/(x^2+4x).

Для этого сначала найдем область определения функции. Заметим, что знаменатель не равен нулю при любом значении x, так как x^2 + 4x = x(x+4), и x и (x+4) не могут быть равны нулю одновременно. Таким образом, функция определена на всей числовой прямой.

Теперь проанализируем поведение функции. При x -> -∞ функция приближается к -2, а при x -> +∞ функция также приближается к -2. Функция имеет вертикальную асимптоту в точке x = -2 (так как знаменатель обращается в ноль), и горизонтальную асимптоту y = -2 (при x -> ±∞).

Теперь рассмотрим прямую y = m. Чтобы определить, при каких значениях m прямая не будет иметь с графиком функции общих точек, нужно найти такие значения m, при которых прямая будет находиться полностью выше или ниже графика функции.

Для этого сравним значения функции и прямой при различных значениях x. Таким образом, получим условие для m: m < -2 или m > -2.

Таким образом, прямая y = m не будет иметь с графиком функции общих точек при значениях m, меньших -2 или больших -2.

График функции y=-2- (x+4)/(x^2+4x) - это гипербола. Прямая y=m не имеет с графиком общих точек, если значение m лежит за пределами интервала, в который попадают значения функции на графике.