Постройте график функции у=$х+3$^2.Укажите промежутки возрастания и убывания функции

Для построения связанного с данной функцией графика сначала нужно определить, каким образом изменяется значение функции у=$x+3$^2 при изменении значения аргумента x.

Функция у=$x+3$^2 представляет собой параболу, смещенную влево на 3 единицы и раскрытую вверх. Это означает, что вершина параболы находится в точке $-3,0$, а парабола открывается вверх.

Промежутки возрастания и убывания функции можно определить, проанализировав производную функции. Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования степенной функции:

y' = 2$x+3$

Решив уравнение y' = 0, получим:

2$x+3$ = 0 x = -3

Таким образом, производная функции равна 0 при x=-3. Это означает, что функция у=$x+3$^2 достигает локального минимума в точке x=-3. Следовательно, на промежутке x < -3 функция убывает, на промежутке -3 < x бесконечно возрастает.

Построим график функции у=$x+3$^2, учитывая полученную информацию о промежутках возрастания и убывания функции.

График функции $y=(x+3$^2 ) представляет собой параболу. Для начала давайте преобразуем данное уравнение к стандартной форме квадратичной функции:

$y=(x+3{)}^2$

Раскрыв скобки, получим:

$y=x^2+6x+9$

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке, где $x$ равен значению, которое обнуляет выражение под квадратом. В данной функции это значение $x=-3$. То есть вершина параболы находится в точке $-3,0$.

Парабола открывается вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен $равен1$. Это означает, что наименьшее значение функции достигается в вершине.

Промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на интервале $x\in (-\mathrm{\infty },-3]$. Это связано с тем, что если мы двигаемся от минус бесконечности к -3, значения функции уменьшаются, достигая минимума в точке -3.
• Функция возрастает на интервале $x\in [-3,\mathrm{\infty }$ ). После точки -3 значения функции начинают увеличиваться по мере того, как x увеличивается в сторону плюс бесконечности.

График функции:

1. Строим систему координат.
2. Отмечаем вершину параболы в точке $-3,0$.
3. Поскольку парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину, можно отметить несколько точек по обе стороны от вершины и соединить их плавной кривой.
   • Например, если x = -1, то y = $-1+3$^2 = 4.
   • Если x = -5, то y = $-5+3$^2 = 4.
4. Соединяем эти точки плавной кривой, убедившись, что форма графика соответствует параболе, открывающейся вверх.

Таким образом, график будет выглядеть как парабола с вершиной в точке $-3,0$, уходящая вверх в обе стороны от вершины.