Постройте график функции у=(х+3)^2.Укажите промежутки возрастания и убывания функции

Для построения связанного с данной функцией графика сначала нужно определить, каким образом изменяется значение функции у=(x+3)^2 при изменении значения аргумента x.

Функция у=(x+3)^2 представляет собой параболу, смещенную влево на 3 единицы и раскрытую вверх. Это означает, что вершина параболы находится в точке (-3,0), а парабола открывается вверх.

Промежутки возрастания и убывания функции можно определить, проанализировав производную функции. Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования степенной функции:

y' = 2(x+3)

Решив уравнение y' = 0, получим:

2(x+3) = 0 x = -3

Таким образом, производная функции равна 0 при x=-3. Это означает, что функция у=(x+3)^2 достигает локального минимума в точке x=-3. Следовательно, на промежутке x < -3 функция убывает, на промежутке -3 < x бесконечно возрастает.

Построим график функции у=(x+3)^2, учитывая полученную информацию о промежутках возрастания и убывания функции.

График функции ( y = (x+3)^2 ) представляет собой параболу. Для начала давайте преобразуем данное уравнение к стандартной форме квадратичной функции:

[ y = (x+3)^2 ]

Раскрыв скобки, получим:

[ y = x^2 + 6x + 9 ]

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке, где ( x ) равен значению, которое обнуляет выражение под квадратом. В данной функции это значение ( x = -3 ). То есть вершина параболы находится в точке (-3, 0).

Парабола открывается вверх, так как коэффициент при ( x^2 ) положителен (равен 1). Это означает, что наименьшее значение функции достигается в вершине.

Промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на интервале ( x \in (-\infty, -3] ). Это связано с тем, что если мы двигаемся от минус бесконечности к -3, значения функции уменьшаются, достигая минимума в точке -3.
• Функция возрастает на интервале ( x \in [-3, \infty) ). После точки -3 значения функции начинают увеличиваться по мере того, как x увеличивается в сторону плюс бесконечности.

График функции:

1. Строим систему координат.
2. Отмечаем вершину параболы в точке (-3, 0).
3. Поскольку парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину, можно отметить несколько точек по обе стороны от вершины и соединить их плавной кривой.
   • Например, если x = -1, то y = (-1 + 3)^2 = 4.
   • Если x = -5, то y = (-5 + 3)^2 = 4.
4. Соединяем эти точки плавной кривой, убедившись, что форма графика соответствует параболе, открывающейся вверх.

Таким образом, график будет выглядеть как парабола с вершиной в точке (-3, 0), уходящая вверх в обе стороны от вершины.