Постройте график функции у=х^2-2х-8. Найдите с помощью графика а)значение у при х=-2,5; 1,5; 3 б) значение...

Для начала построим график функции ( y = x^2 - 2x - 8 ). Эта функция представляет собой параболу, так как это квадратичная функция.

Шаги для построения графика:

1. Найдем вершину параболы. Формула вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) имеет координаты ( x = -\frac{b}{2a} ). Для нашей функции ( a = 1, b = -2 ), следовательно: [ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ] Подставляем ( x = 1 ) в функцию для нахождения ( y ): [ y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 ] Вершина параболы находится в точке ( (1, -9) ).

2. Найдем нули функции (корни уравнения ( y = 0 )). [ x^2 - 2x - 8 = 0 ] Решаем квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} ] [ x_1 = 4, \quad x_2 = -2 ] Нули функции находятся в точках ( x = 4 ) и ( x = -2 ).

3. Построим график, учитывая нули функции, вершину и общее поведение параболы (ветви вверх, так как ( a = 1 > 0 )).

Ответы на вопросы:

а) Значение ( y ) при ( x = -2.5, 1.5, 3 ) можно найти, подставляя значения в функцию:

• ( y(-2.5) = (-2.5)^2 - 2(-2.5) - 8 = 6.25 + 5 - 8 = 3.25 )
• ( y(1.5) = (1.5)^2 - 2 \cdot 1.5 - 8 = 2.25 - 3 - 8 = -8.75 )
• ( y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5 )

б) Значения ( x ) при ( y = -3 ) и ( y = 7 ) можно найти графически или алгебраически (решая уравнение):

• ( x^2 - 2x - 8 = -3 ) ( \Rightarrow x^2 - 2x - 5 = 0 ) ( \Rightarrow x \approx 3.2 ) или ( x \approx -1.2 )
• ( x^2 - 2x - 8 = 7 ) ( \Rightarrow x^2 - 2x - 15 = 0 ) ( \Rightarrow x \approx 5 ) или ( x \approx -3 )

в) Промежутки возрастания и убывания:

• Парабола убывает на интервале ( (-\infty, 1] ) и возрастает на интервале ( [1, \infty) ), так как вершина параболы находится в точке ( x = 1 ).

Для построения графика функции у=х^2-2х-8 необходимо использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Desmos. После построения графика можно найти значения у при различных значениях х и наоборот.

а) Значения у при х=-2,5; 1,5; 3 можно найти, подставив данные значения х в уравнение функции у=х^2-2х-8 и получив соответствующие значения у.

б) Значение х при котором у=-3; 7 можно найти, решив уравнение у=х^2-2х-8 относительно х. Для этого необходимо приравнять у к -3 и 7 и решить полученные квадратные уравнения.

В. Промежутки возрастания и убывания функции можно найти, проанализировав график функции. В точках экстремума (минимума или максимума) производная функции равна нулю. Таким образом, можно найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает.