Постройте график функции у=х²-2х-8.Найдите с помощью графика: а)значение у при х= -1,5; б)значение х, при которых у=3; в)нули функции;промежутки,в которых у>0 и в которых у<0; г)промежуток ,в котором функции возрастает. Помогите
Постройте график функции у=х²-2х-8.Найдите с помощью графика: а)значение у при х= -1,5; б)значение х, при которых у=3; в)нули функции;промежутки,в которых у>0 и в которых у<0; г)промежуток ,в котором функции возрастает. Помогите
Чтобы построить график функции ( y = x^2 - 2x - 8 ), начнем с того, что определим основные характеристики этой квадратичной функции.
Функция имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -8 ). Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как ( a > 0 ).
Вершина параболы: Координата вершины ( x ) находится по формуле: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1. ]
Подставим ( x = 1 ) в уравнение ( y = x^2 - 2x - 8 ), чтобы найти ( y )-координату вершины: [ y = 1^2 - 2 \times 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9. ]
Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, -9) ).
Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение ( x^2 - 2x - 8 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36. ]
Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}. ]
Корни: [ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2. ]
Таким образом, нули функции: ( x = -2 ) и ( x = 4 ).
Построение: Теперь у нас есть вершина и нули функции. Это достаточно для построения графика параболы. Парабола пересекает ось ( x ) в точках ((-2, 0)) и ((4, 0)), и имеет вершину в точке ((1, -9)).
а) Значение ( y ) при ( x = -1.5 ): Подставляем ( x = -1.5 ) в уравнение функции: [ y = (-1.5)^2 - 2 \times (-1.5) - 8 = 2.25 + 3 - 8 = -2.75. ]
б) Значение ( x ), при которых ( y = 3 ): Решим уравнение ( x^2 - 2x - 8 = 3 ): [ x^2 - 2x - 11 = 0. ]
Найдем дискриминант: [ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-11) = 4 + 44 = 48. ]
Корни: [ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2}. ]
Упростим: [ x_1 = 1 + 2\sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - 2\sqrt{3}. ]
в) Нули функции и промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 ):
Нули функции: ( x = -2 ) и ( x = 4 ).
г) Промежуток, в котором функция возрастает:
Функция возрастает на промежутке ( (1, \infty) ) (от вершины вправо).
Таким образом, график функции ( y = x^2 - 2x - 8 ) позволяет визуально определить требуемые значения и свойства функции.
Для построения графика функции y=x^2-2x-8 можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Wolfram Alpha.
а) Для нахождения значения y при x=-1,5 необходимо подставить значение x в функцию: y=(-1,5)^2-2*(-1,5)-8 = 0,25+3-8 = -4,75.
б) Чтобы найти значения x, при которых y=3, нужно решить уравнение: x^2-2x-8=3. Получаем квадратное уравнение x^2-2x-11=0, которое имеет два корня: x1≈-1,79 и x2≈3,79.
в) Нули функции - это значения x, при которых y=0. Решаем уравнение x^2-2x-8=0 и находим корни: x1≈-1,79 и x2≈3,79. Таким образом, нули функции -1,79 и 3,79.
Далее, чтобы найти промежутки, в которых y>0 и y3,79, и отрицательна при -1,79 < x < 3,79.
г) Функция возрастает на промежутке, где производная функции положительна. Производная функции y'=2x-2. Решаем уравнение 2x-2>0 и находим, что функция возрастает при x>1.
Надеюсь, что это поможет вам решить задачу.
а) При x = -1,5 значение у = (-1,5)² - 2(-1,5) - 8 = 0,25 + 3 - 8 = -4,75 б) При у = 3, значения x равны -1 и 3 в) Нули функции: x = -2 и x = 4; промежутки, где у > 0: (-∞, -2) и (4, +∞); промежутки, где у < 0: (-2, 4) г) Функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (2, +∞)
