постройте график функции у=4х-5\4х^2-5х и определите при каких значениях k прямая у=kх имеет с графиком ровно одну общую точку
постройте график функции у=4х-5\4х^2-5х и определите при каких значениях k прямая у=kх имеет с графиком ровно одну общую точку
Для построения графика функции ( y = \frac{4x - 5}{4x^2 - 5x} ) и определения, при каких значениях ( k ) прямая ( y = kx ) имеет с графиком ровно одну общую точку, выполним следующие шаги:
Функция ( y = \frac{4x - 5}{4x^2 - 5x} ) может быть упрощена путем факторизации: [ y = \frac{4x - 5}{x(4x - 5)} ] Если ( 4x - 5 \neq 0 ), то [ y = \frac{1}{x} ] Это гипербола с вертикальной асимптотой ( x = 0 ) и горизонтальной асимптотой ( y = 0 ), но с исключением точки ( x = \frac{5}{4} ), где функция не определена.
В точке ( x = \frac{5}{4} ), знаменатель обращается в ноль, и функция теряет смысл, образуя вертикальную асимптоту.
График ( y = \frac{1}{x} ) представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первом и третьем квадрантах, с двумя асимптотами: ( y = 0 ) и ( x = 0 ), и дополнительной вертикальной асимптотой на ( x = \frac{5}{4} ).
Для того чтобы узнать, когда прямая ( y = kx ) имеет ровно одну общую точку с графиком, нужно рассмотреть уравнение: [ \frac{1}{x} = kx ] [ 1 = kx^2 ] [ x^2 = \frac{1}{k} ] Так как ( x ) не должен быть равен нулю (из-за асимптоты), и уравнение ( x^2 = \frac{1}{k} ) имеет решение при ( k > 0 ) (так как ( x^2 ) всегда положительно).
Чтобы прямая ( y = kx ) имела ровно одну точку пересечения, необходимо, чтобы она касалась одной из ветвей гиперболы. Это произойдет, если прямая проходит через вершину параболы, образованной уравнением ( x^2 = \frac{1}{k} ). То есть, касательная должна быть вертикальной в точке пересечения с горизонтальной асимптотой ( y = 0 ).
Таким образом, прямая ( y = kx ) будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком функции, когда ( k ) будет таким, что касательная к гиперболе в точке пересечения будет параллельна прямой ( y = kx ). Это произойдет при ( k = 0 ), когда прямая становится горизонтальной и касается горизонтальной асимптоты функции ( y = \frac{1}{x} ).
Для начала построим график функции у=4х-5/4х^2-5х. Для этого нам нужно найти точки пересечения с осями координат, экстремумы, асимптоты и поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞.
Точки пересечения с осями координат: При x=0 функция не определена, так как знаменатель равен нулю. Поэтому нет точек пересечения с осью ординат. При y=0: 4х-5=0 => х=5/4. Точка пересечения с осью абсцисс: (5/4, 0).
Экстремумы: Для поиска экстремумов найдем производную функции и приравняем ее к нулю: у' = (4(4x^2-5x) - (4x-5)(8x-5))/(4x^2-5x)^2 = (16x^2-20x-32x^2+25x)/(4x^2-5x)^2 = (-16x^2+5x)/(4x^2-5x)^2 = 0. Отсюда получаем два значения x: x=0 и x=5/4. Подставляя в исходную функцию, получаем две точки экстремума: (0, -5) и (5/4, 0).
Асимптоты: Горизонтальная асимптота: lim(x->±∞) y = 4/4 = 1. Вертикальная асимптота: x=0.
Поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞: При x -> +∞ функция стремится к горизонтальной асимптоте y=1. При x -> -∞ функция также стремится к горизонтальной асимптоте y=1.
Теперь рассмотрим у=kx. Чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции у=4х-5/4х^2-5х, необходимо, чтобы эта точка была касательной к графику функции. Это значит, что у прямой и графика должны быть равны в этой точке, а их производные должны быть равны.
Пусть общая точка имеет координаты (a, b): k*a = 4a - 5/(4a^2 - 5a), (1) k = 4 - 5/(4a^2 - 5a)^2. (2)
Из уравнения (2) видно, что k зависит от a, а значит, нам нужно найти такое значение k, при котором точка (a, b) будет касательной к графику функции у=4х-5/4х^2-5х. Одновременно решить систему уравнений (1) и (2) для нахождения всех значений k, при которых прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции.
