Постройте график функции у=4х-5\4х^2-5х и определите при каких значениях k прямая у=kх имеет с графиком...

Для построения графика функции $y=\frac{4x-5}{4x^2-5x}$ и определения, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку, выполним следующие шаги:

1. Упрощение функции

Функция $y=\frac{4x-5}{4x^2-5x}$ может быть упрощена путем факторизации: $y=\frac{4x-5}{x(4x-5)}$ Если $4x-5\ne 0$, то $y=\frac{1}{x}$ Это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$, но с исключением точки $x=\frac{5}{4}$, где функция не определена.

2. Исключение

В точке $x=\frac{5}{4}$, знаменатель обращается в ноль, и функция теряет смысл, образуя вертикальную асимптоту.

3. Построение графика

График $y=\frac{1}{x}$ представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первом и третьем квадрантах, с двумя асимптотами: $y=0$ и $x=0$, и дополнительной вертикальной асимптотой на $x=\frac{5}{4}$.

4. Анализ пересечений с прямой $y=kx$

Для того чтобы узнать, когда прямая $y=kx$ имеет ровно одну общую точку с графиком, нужно рассмотреть уравнение: $\frac{1}{x}=kx$ $1=k{x}^2$ $x^2=\frac{1}{k}$ Так как $x$ не должен быть равен нулю $из-заасимптоты$, и уравнение $x^2=\frac{1}{k}$ имеет решение при $k>0$ $таккак(x^2$ всегда положительно).

5. Определение значения $k$

Чтобы прямая $y=kx$ имела ровно одну точку пересечения, необходимо, чтобы она касалась одной из ветвей гиперболы. Это произойдет, если прямая проходит через вершину параболы, образованной уравнением $x^2=\frac{1}{k}$. То есть, касательная должна быть вертикальной в точке пересечения с горизонтальной асимптотой $y=0$.

Таким образом, прямая $y=kx$ будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком функции, когда $k$ будет таким, что касательная к гиперболе в точке пересечения будет параллельна прямой $y=kx$. Это произойдет при $k=0$, когда прямая становится горизонтальной и касается горизонтальной асимптоты функции $y=\frac{1}{x}$.

Для начала построим график функции у=4х-5/4х^2-5х. Для этого нам нужно найти точки пересечения с осями координат, экстремумы, асимптоты и поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞.

1. Точки пересечения с осями координат: При x=0 функция не определена, так как знаменатель равен нулю. Поэтому нет точек пересечения с осью ординат. При y=0: 4х-5=0 => х=5/4. Точка пересечения с осью абсцисс: $5/4,0$.

2. Экстремумы: Для поиска экстремумов найдем производную функции и приравняем ее к нулю: у' = $4(4x^2-5x$ - $4x-5$$8x-5$)/$4x^2-5x$^2 = $16x^2-20x-32x^2+25x$/$4x^2-5x$^2 = $-16x^2+5x$/$4x^2-5x$^2 = 0. Отсюда получаем два значения x: x=0 и x=5/4. Подставляя в исходную функцию, получаем две точки экстремума: $0,-5$ и $5/4,0$.

3. Асимптоты: Горизонтальная асимптота: lim$x->\pm \infty$ y = 4/4 = 1. Вертикальная асимптота: x=0.

4. Поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞: При x -> +∞ функция стремится к горизонтальной асимптоте y=1. При x -> -∞ функция также стремится к горизонтальной асимптоте y=1.

Теперь рассмотрим у=kx. Чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции у=4х-5/4х^2-5х, необходимо, чтобы эта точка была касательной к графику функции. Это значит, что у прямой и графика должны быть равны в этой точке, а их производные должны быть равны.

Пусть общая точка имеет координаты $a,b$: k*a = 4a - 5/$4a^2-5a$, $1$ k = 4 - 5/$4a^2-5a$^2. $2$

Из уравнения $2$ видно, что k зависит от a, а значит, нам нужно найти такое значение k, при котором точка $a,b$ будет касательной к графику функции у=4х-5/4х^2-5х. Одновременно решить систему уравнений $1$ и $2$ для нахождения всех значений k, при которых прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции.