Построить график: y=3cos2x

Чтобы построить график функции ( y = 3 \cos(2x) ), необходимо разобрать все особенности этой функции и выполнить пошаговые действия. Давайте детально разберем, как построить данный график.

1. Общий вид функции и ее параметры

Функция ( y = 3 \cos(2x) ) представляет собой косинусоиду, но с изменением амплитуды и периода по сравнению с базовой функцией ( y = \cos(x) ). Эти изменения контролируются коэффициентами перед косинусом и внутри аргумента.

• Амплитуда: Коэффициент перед косинусом ( 3 ) задает амплитуду колебаний. Амплитуда — это максимальное абсолютное значение функции. Для данного случая ( \text{амплитуда} = |3| = 3 ). Это означает, что график будет колебаться между ( y = -3 ) и ( y = 3 ).

• Период: Период функции косинуса определяется как ( \frac{2\pi}{k} ), где ( k ) — коэффициент при ( x ) внутри аргумента. В данном случае ( k = 2 ), поэтому ( \text{период} = \frac{2\pi}{2} = \pi ). Это означает, что один полный цикл косинусоиды (от начала до конца) будет укладываться на интервале длиной ( \pi ).

• Сдвиг по фазе: В данной функции отсутствует сдвиг по фазе, так как в аргументе ( 2x ) нет дополнительного слагаемого.

2. Характеристики функции

Функция ( y = 3 \cos(2x) ) обладает следующими свойствами:

• Область определения: ( x \in \mathbb{R} ) (функция определена для всех значений ( x ));
• Область значений: ( y \in [-3, 3] ) (значения функции находятся в пределах амплитуды);
• Четность: Косинус — четная функция, поэтому ( \cos(-x) = \cos(x) ). Следовательно, график функции симметричен относительно оси ( y );
• Периодичность: Функция периодична с периодом ( \pi ), то есть ( y(x + \pi) = y(x) ).

3. Построение графика

Шаг 1: Построить базовый график ( y = \cos(x) )

Начнем с построения стандартного графика функции ( \cos(x) ):

• Максимум значения ( \cos(x) = 1 ) (в точке ( x = 0 ));
• Минимум значения ( \cos(x) = -1 ) (в точке ( x = \pi ));
• Период равен ( 2\pi ) (один полный цикл от ( x = 0 ) до ( x = 2\pi )).

Теперь у нас есть представление о форме стандартной косинусоиды.

Шаг 2: Учет коэффициентов

1. Растяжение по оси ( y ): Коэффициент ( 3 ) умножает значения функции на 3. Это означает, что амплитуда увеличивается до 3. График будет колебаться между ( y = -3 ) и ( y = 3 ), вместо ( y = -1 ) до ( y = 1 ).

2. Сжатие по оси ( x ): Коэффициент ( 2 ) внутри аргумента ( 2x ) сжимает график в 2 раза вдоль оси ( x ). Период изменится с ( 2\pi ) до ( \pi ). Таким образом, полный цикл косинусоиды теперь укладывается на интервале ([0, \pi]).

Шаг 3: Построение ключевых точек

Для построения графика удобно определить ключевые точки функции в пределах одного периода ([0, \pi]). Вычислим значения функции в этих точках.

• При ( x = 0 ): ( y = 3 \cos(2 \cdot 0) = 3 \cos(0) = 3 );
• При ( x = \frac{\pi}{4} ): ( y = 3 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \cdot 0 = 0 );
• При ( x = \frac{\pi}{2} ): ( y = 3 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 3 \cos(\pi) = 3 \cdot (-1) = -3 );
• При ( x = \frac{3\pi}{4} ): ( y = 3 \cos\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) = 3 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 3 \cdot 0 = 0 );
• При ( x = \pi ): ( y = 3 \cos(2 \cdot \pi) = 3 \cos(2\pi) = 3 ).

Таким образом, ключевые точки в пределах одного периода: [ (0, 3), \, \left(\frac{\pi}{4}, 0\right), \, \left(\frac{\pi}{2}, -3\right), \, \left(\frac{3\pi}{4}, 0\right), \, (\pi, 3). ]

Шаг 4: Построение графика

1. Наносим ключевые точки на координатную плоскость.
2. Соединяем их плавной волной, помня, что график имеет форму косинусоиды.
3. Повторяем этот процесс для нескольких периодов влево и вправо от начального периода ([0, \pi]), так как функция периодична.

Итоговый график

График функции ( y = 3 \cos(2x) ) представляет собой волнообразную кривую с амплитудой 3, периодом ( \pi ), симметричную относительно оси ( y ). Значения функции колеблются между ( -3 ) и ( 3 ), проходя через нули в точках ( x = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2} ), где ( n \in \mathbb{Z} ).

Для построения графика функции ( y = 3 \cos(2x) ) нужно учесть несколько ключевых аспектов: амплитуду, период, сдвиг и направление.

1. Амплитуда

Амплитуда функции определяет максимальное и минимальное значения графика. В данном случае амплитуда равна 3, что означает, что график будет колебаться от -3 до 3. То есть:

• Максимальное значение: ( y = 3 )
• Минимальное значение: ( y = -3 )

2. Период

Период функции определяет, как часто она повторяется. Для функции косинуса стандартный период равен ( 2\pi ). Однако, поскольку в нашем случае аргумент косинуса имеет коэффициент 2, период изменяется по формуле:

[ T = \frac{2\pi}{k} ]

где ( k ) — это коэффициент перед ( x ). В нашем случае ( k = 2 ):

[ T = \frac{2\pi}{2} = \pi ]

Это означает, что график функции будет повторяться каждые ( \pi ) единиц по оси ( x ).

3. Начальная точка и направление

Функция косинуса начинается с максимального значения. При ( x = 0 ):

[ y = 3 \cos(2 \cdot 0) = 3 \cdot 1 = 3 ]

При ( x = \frac{\pi}{4} ):

[ y = 3 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot 0 = 0 ]

При ( x = \frac{\pi}{2} ):

[ y = 3 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 3 \cos(\pi) = 3 \cdot (-1) = -3 ]

При ( x = \frac{3\pi}{4} ):

[ y = 3 \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 3 \cdot 0 = 0 ]

При ( x = \pi ):

[ y = 3 \cos(2 \cdot \pi) = 3 \cdot 1 = 3 ]

4. Построение графика

Теперь, имея всю необходимую информацию, можно построить график функции:

1. Начинаем с точки ( (0, 3) ).
2. Затем переходим к точке ( \left(\frac{\pi}{4}, 0\right) ).
3. Дальше вниз до ( \left(\frac{\pi}{2}, -3\right) ).
4. Идем обратно к ( \left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) ).
5. Заканчиваем на ( ( \pi, 3) ).

Поскольку период равен ( \pi ), этот цикл повторяется. Вы можете продолжить строить график в обе стороны по оси ( x ).

5. Итог

График будет представлять собой волнообразную линию, колеблющуюся между -3 и 3, с периодом ( \pi ) и начальной точкой в ( (0, 3) ). График будет симметричен относительно оси ( x ) и будет выглядеть как периодическая функция с характерной формой косинуса.