Построить график функции y=(x-4)в квадрате-1. укажите для этой функции: а) облость определения; б) ноль; в) промежутки знакопостояннства; г) промежутки растоянния (убывания); д) область изменения
Построить график функции y=(x-4)в квадрате-1. укажите для этой функции: а) облость определения; б) ноль; в) промежутки знакопостояннства; г) промежутки растоянния (убывания); д) область изменения
Для функции ( y = (x-4)^2 - 1 ), мы можем проанализировать её свойства и построить график.
А) Область определения функции:
Функция ( y = (x-4)^2 - 1 ) представляет собой квадратичную функцию, и поскольку квадратные функции определены для всех действительных чисел, область определения данной функции - это множество всех действительных чисел: ( \mathbb{R} ).
Б) Нули функции:
Нули функции - это значения ( x ), при которых ( y = 0 ). Решим уравнение:
[
(x-4)^2 - 1 = 0
]
[
(x-4)^2 = 1
]
[
x-4 = \pm 1
]
[
x = 5 \quad \text{или} \quad x = 3
]
Таким образом, нули функции находятся в точках ( x = 3 ) и ( x = 5 ).
В) Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна, когда ( (x-4)^2 - 1 > 0 ), т.е. когда ( (x-4)^2 > 1 ). Это выполняется, когда ( x < 3 ) или ( x > 5 ).
Функция отрицательна, когда ( (x-4)^2 - 1 < 0 ), т.е. когда ( (x-4)^2 < 1 ). Это выполняется, когда ( 3 < x < 5 ).
Г) Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы находится в точке ( x = 4 ). Функция убывает на интервале ( (-\infty, 4] ) и возрастает на интервале ( [4, \infty) ).
Д) Область изменения функции:
Минимальное значение функции достигается в вершине параболы, которая находится в точке ( x = 4 ). Подставляя ( x = 4 ) в уравнение функции, получаем:
[
y = (4-4)^2 - 1 = -1
]
Так как это квадратичная функция, она не имеет верхней границы в своих значениях. Таким образом, область изменения функции - это ( [-1, \infty) ).
Построение графика:
График функции ( y = (x-4)^2 - 1 ) представляет собой параболу с вершиной в точке ( (4, -1) ), направленную вверх. Нули функции находятся в точках ( x = 3 ) и ( x = 5 ). Функция убывает от ( -\infty ) до ( 4 ) и возрастает от ( 4 ) до ( \infty ), пересекая ось ( y ) на уровне ( -1 ).
а) Область определения функции y=(x-4)^2-1 - все действительные числа x. б) Ноль функции: (x-4)^2 - 1 = 0 (x-4)^2 = 1 x-4 = ±1 x = 4 ± 1 x = 3 или x = 5 То есть нули функции равны 3 и 5. в) Промежутки знакопостоянства: Функция y=(x-4)^2-1 является параболой, направленной вверх. Следовательно, она положительна при x5, а отрицательна при 3
