Построить график функции y=sinx+0,5. Указать область определения функции и наибольшее значение на отрезке...

Для построения графика функции ( y = \sin(x) + 0.5 ) и анализа её свойств, сначала определим область определения функции и наибольшее значение на заданном отрезке.

Область определения

Функция ( y = \sin(x) ) определена для всех ( x \in \mathbb{R} ). При добавлении константы ( 0.5 ) область определения остаётся прежней: [ D = \mathbb{R} ]

Наибольшее значение функции на отрезке ([- \frac{\pi}{6}, \pi])

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке, сначала определим максимальное значение функции ( \sin(x) ).

Функция ( \sin(x) ) принимает значения в диапазоне ([-1, 1]). При добавлении ( 0.5 ), диапазон значений функции ( y = \sin(x) + 0.5 ) будет: [ [-1 + 0.5, 1 + 0.5] = [-0.5, 1.5] ] Следовательно, наибольшее значение функции ( y = \sin(x) + 0.5 ) будет равно ( 1.5 ).

Анализ на отрезке ([- \frac{\pi}{6}, \pi])

Теперь нужно определить, достигает ли функция своего максимума на данном отрезке. Для этого найдём значения функции в границах отрезка и в критических точках.

1. Границы отрезка:

   • ( x = -\frac{\pi}{6} ): [ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 0.5 = -\frac{1}{2} + 0.5 = 0 ]

   • ( x = \pi ): [ y(\pi) = \sin(\pi) + 0.5 = 0 + 0.5 = 0.5 ]

2. Критические точки: Найдём производную функции ( y = \sin(x) + 0.5 ): [ y' = \cos(x) ] Установим производную равной нулю: [ \cos(x) = 0 ] Решение этого уравнения даёт: [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] Мы ищем критические точки на отрезке ([- \frac{\pi}{6}, \pi]). В этом случае ( k = 0 ) даёт ( x = \frac{\pi}{2} ).

   Теперь вычислим значение функции в этой критической точке: [ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5 ]

Сравнение значений

Теперь сравним значения функции в границах отрезка и в критической точке:

• ( y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 0 )
• ( y(\pi) = 0.5 )
• ( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.5 )

Заключение

Таким образом, наибольшее значение функции ( y = \sin(x) + 0.5 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{6}, \pi]) равно ( 1.5 ) и достигается в точке ( x = \frac{\pi}{2} ).

График функции

График функции ( y = \sin(x) + 0.5 ) будет представлять собой синусоиду, смещённую вверх на ( 0.5 ) единицы. Это значит, что:

• Минимум функции на графике будет в точке ( -0.5 ) (при ( \sin(x) = -1 )),
• Максимум — в точке ( 1.5 ) (при ( \sin(x) = 1 )).

График можно нарисовать на координатной плоскости, где по оси ( x ) откладываются значения углов, а по оси ( y ) — значения функции.

Построение графика функции ( y = \sin x + 0.5 )

Функция ( y = \sin x + 0.5 ) получается из графика обычной синусоиды ( y = \sin x ), если поднять его на 0.5 вдоль оси ( Oy ).

1. Область определения функции

Синус — это периодическая функция, определённая для всех чисел ( x ) на всей числовой прямой. Поэтому область определения функции ( y = \sin x + 0.5 ) также является множеством всех действительных чисел: [ D(y) = \mathbb{R}. ]

2. Построение графика

Функция ( y = \sin x + 0.5 ):

• Имеет ту же форму, что и обычная синусоида, но смещена вверх на 0.5.
• Амплитуда (максимальная разница между максимумом и минимумом) остаётся равной 1.
• Максимальные значения достигаются, когда ( \sin x = 1 ). Тогда ( y = 1 + 0.5 = 1.5 ).
• Минимальные значения достигаются, когда ( \sin x = -1 ). Тогда ( y = -1 + 0.5 = -0.5 ).

3. Наибольшее значение на отрезке ( \left[ -\frac{\pi}{6}; \pi \right] )

Рассмотрим функцию ( y = \sin x + 0.5 ) на заданном отрезке ( \left[ -\frac{\pi}{6}; \pi \right] ). Чтобы найти наибольшее значение, нужно:

1) Проверить значения функции в критических точках.

Критические точки находятся там, где производная функции равна нулю. Для функции ( y = \sin x + 0.5 ): [ y' = \cos x. ] Значение ( \cos x = 0 ) при ( x = \pm \frac{\pi}{2} + 2k\pi ), где ( k \in \mathbb{Z} ).

На отрезке ( \left[ -\frac{\pi}{6}; \pi \right] ) единственная подходящая критическая точка: [ x = \frac{\pi}{2}. ]

Подставляем в функцию: [ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5. ]

2) Проверить значения функции на концах отрезка.

Подставляем ( x = -\frac{\pi}{6} ): [ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 0.5 = -\frac{1}{2} + 0.5 = 0. ]

Подставляем ( x = \pi ): [ y\left(\pi\right) = \sin\left(\pi\right) + 0.5 = 0 + 0.5 = 0.5. ]

4. Сравнение значений

На отрезке ( \left[ -\frac{\pi}{6}; \pi \right] ) функция достигает:

• Наибольшего значения при ( x = \frac{\pi}{2} ): [ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.5. ]

Ответ:

1. Область определения: ( D(y) = \mathbb{R} ).
2. График: График функции ( y = \sin x + 0.5 ) — обычная синусоида, поднятая на 0.5 вдоль оси ( Oy ).
3. Наибольшее значение на отрезке ( \left[ -\frac{\pi}{6}; \pi \right] ): [ y_{\text{max}} = 1.5 \text{ при } x = \frac{\pi}{2}. ]