Построить график функции y=4x^5-5x^4 с помощь производных с 10-11 класса

Для построения графика функции ( y = 4x^5 - 5x^4 ) с использованием производных, следуем следующим шагам:

1. Найдем первую производную функции

Первая производная функции ( y = 4x^5 - 5x^4 ) позволяет определить критические точки и интервалы возрастания и убывания функции.

[ y' = \frac{d}{dx}(4x^5 - 5x^4) = 20x^4 - 20x^3 ]

2. Найдем критические точки

Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ):

[ 20x^4 - 20x^3 = 0 ]

Распределим общий множитель:

[ 20x^3(x - 1) = 0 ]

Отсюда получаем критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

3. Исследуем знаки первой производной

Для исследования знаков производной ( y' = 20x^3(x - 1) ), рассмотрим интервалы, определенные критическими точками:

• ( x < 0 )
• ( 0 < x < 1 )
• ( x > 1 )

Подставляя значения из этих интервалов в ( y' ), определим знаки:

• На интервале ( x < 0 ), ( y' < 0 ) (функция убывает).
• На интервале ( 0 < x < 1 ), ( y' > 0 ) (функция возрастает).
• На интервале ( x > 1 ), ( y' > 0 ) (функция продолжает возрастать).

4. Найдем вторую производную

Вторая производная помогает определить точки перегиба и характер экстремумов.

[ y'' = \frac{d}{dx}(20x^4 - 20x^3) = 80x^3 - 60x^2 ]

5. Найдем точки перегиба

Для нахождения точек перегиба решим уравнение ( y'' = 0 ):

[ 80x^3 - 60x^2 = 0 ]

Распределим общий множитель:

[ 20x^2(4x - 3) = 0 ]

Отсюда получаем точки ( x = 0 ) и ( x = \frac{3}{4} ).

6. Исследуем знаки второй производной

Рассматриваем интервалы:

• ( x < 0 )
• ( 0 < x < \frac{3}{4} )
• ( x > \frac{3}{4} )

Подставляя значения из этих интервалов в ( y'' ):

• На интервале ( x < 0 ), ( y'' < 0 ) (вогнутость вниз).
• На интервале ( 0 < x < \frac{3}{4} ), ( y'' > 0 ) (вогнутость вверх).
• На интервале ( x > \frac{3}{4} ), ( y'' > 0 ) (вогнутость вверх).

7. Определим характер экстремумов

• В точке ( x = 0 ), первая производная меняет знак с минуса на плюс — минимум.
• В точке ( x = 1 ), производная не меняет знак, но это точка возрастания.

8. Построение графика

Собрав всю информацию, можно построить график функции:

• Функция убывает для ( x < 0 ), возрастает для ( 0 < x < 1 ) и ( x > 1 ).
• Локальный минимум в ( x = 0 ).
• Точка перегиба в ( x = \frac{3}{4} ).

Итог

График функции ( y = 4x^5 - 5x^4 ) имеет минимум в точке ( x = 0 ) и точку перегиба в ( x = \frac{3}{4} ). Функция возрастает для ( x > 0 ) и имеет вогнутость вверх для ( x > 0 ), за исключением интервала ( 0 < x < \frac{3}{4} ).

Для построения графика функции y=4x^5-5x^4 с помощью производных мы можем использовать информацию о поведении функции в точках экстремума и точках перегиба.

1. Найдем производную функции y=4x^5-5x^4: y' = 20x^4 - 20x^3

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 20x^4 - 20x^3 = 0 20x^3(x - 1) = 0 x = 0 или x = 1

3. Подставим найденные точки экстремума в исходную функцию для определения значений y: Для x = 0: y(0) = 40^5 - 50^4 = 0 Для x = 1: y(1) = 41^5 - 51^4 = -1

Таким образом, точки экстремума находятся в точках (0, 0) и (1, -1).

1. Теперь найдем точки перегиба, приравняв к нулю вторую производную функции: y'' = 80x^3 - 60x^2 80x^3 - 60x^2 = 0 20x^2(4x - 3) = 0 x = 0 или x = 3/4

2. Подставим найденные точки перегиба в исходную функцию для определения значений y: Для x = 0: y(0) = 0 Для x = 3/4: y(3/4) = 4(3/4)^5 - 5(3/4)^4 ≈ 1.15

Таким образом, точки перегиба находятся в точках (0, 0) и (3/4, 1.15).

1. Построим график, используя найденные точки экстремума и перегиба. График будет иметь выпуклую форму вверх в точках (0, 0) и (3/4, 1.15), и вогнутую форму вниз в точках (1, -1).