Посторойте график функции y= (x+1)(x^2+7x+10)/x+2 и определите , при каких значениях m прямая y=m имеет...

Для начала построим график функции y= (x+1)(x^2+7x+10)/(x+2):

1. Найдем нули функции: (x+1)(x^2+7x+10) = 0 (x+1)(x+2)(x+5) = 0 x = -1, -2, -5

2. Видим, что у функции есть вертикальная асимптота x=-2.

3. Найдем горизонтальную асимптоту: y = x^2+7x+10 при x->∞ y = x^2 при x->∞

4. Построим график функции и учтем вертикальную асимптоту:

(График)

Теперь определим при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для этого рассмотрим уравнение прямой y=m и функции y= (x+1)(x^2+7x+10)/(x+2). Для того чтобы прямая и функция имели одну общую точку, необходимо и достаточно, чтобы уравнение функции было равно уравнению прямой.

Таким образом, мы можем решить уравнение (x+1)(x^2+7x+10)/(x+2) = m и найти значения m, при которых решение будет единственным.

Для построения графика функции ( y = \frac{(x+1)(x^2 + 7x + 10)}{x+2} ) и определения значений ( m ), при которых прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно одну общую точку, рассмотрим функцию подробнее.

1. Упрощение функции:

   Рассмотрим числитель функции: [ (x+1)(x^2 + 7x + 10) ] Раскроем скобки: [ (x+1)(x^2 + 7x + 10) = x^3 + 7x^2 + 10x + x^2 + 7x + 10 = x^3 + 8x^2 + 17x + 10 ] Таким образом, функция принимает вид: [ y = \frac{x^3 + 8x^2 + 17x + 10}{x+2} ]

2. Разделение дроби:

   Применим деление многочлена ( x^3 + 8x^2 + 17x + 10 ) на ( x+2 ) методом деления в столбик: [ \begin{array}{r|rrr} x+2 & x^3 & + 8x^2 & + 17x & + 10 \ \hline x^2 & x^3 & + 2x^2 & & \ \hline & 6x^2 & + 17x & + 10 \ 6x & 6x^2 & + 12x & \ \hline & & 5x & + 10 \ 5 & 5x & + 10 & \ \hline & & & 0 \ \end{array} ] Получаем: [ \frac{x^3 + 8x^2 + 17x + 10}{x+2} = x^2 + 6x + 5 ]

3. Итоговая функция:

   Значит, упрощенная функция: [ y = x^2 + 6x + 5 ]

4. Построение графика функции:

   Функция ( y = x^2 + 6x + 5 ) является параболой, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3 ] Подставим ( x = -3 ), чтобы найти ( y ): [ y = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 ] Вершина параболы находится в точке ( (-3, -4) ).

5. Определение значений ( m ):

   Прямая ( y = m ) имеет с параболой ровно одну общую точку, если эта прямая является касательной. Для этого дискриминант уравнения ( x^2 + 6x + (5 - m) = 0 ) должен быть равен нулю: [ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - m) = 36 - 4(5 - m) = 36 - 20 + 4m = 16 + 4m ] Приравняем дискриминант к нулю: [ 16 + 4m = 0 ] Решим это уравнение: [ 4m = -16 \ m = -4 ]

   Следовательно, прямая ( y = -4 ) имеет с графиком функции ( y = x^2 + 6x + 5 ) ровно одну общую точку, а именно касается его в вершине параболы.

6. Ответ:

   Прямая ( y = m ) имеет с графиком функции ( y = x^2 + 6x + 5 ) ровно одну общую точку при ( m = -4 ).

Для построения графика функции y= (x+1)(x^2+7x+10)/(x+2) нужно найти его нули, а затем найти значения функции для различных x.

Для определения значений m, при которых прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку, нужно решить уравнение (x+1)(x^2+7x+10)/(x+2) = m.

Найденная общая точка будет соответствовать значениям x, при которых уравнение будет иметь единственное решение.