Помогите упростить : sin^2(pi/4+x)-sin^2(pi/4 - x )

Для упрощения выражения (\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right)), можно использовать тригонометрические идентичности и свойства синуса.

1. Используем формулу разности квадратов: [ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ] где (a = \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right)) и (b = \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)).

   Поэтому, [ \sin^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \left(\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right)\left(\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) ]

2. Используем формулу суммы и разности синусов: [ \sin A \pm \sin B = 2 \sin\left(\frac{A \pm B}{2}\right) \cos\left(\frac{A \mp B}{2}\right) ]

   Для первого множителя (\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)): [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \cos\left(\frac{\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{2}\right) \sin\left(\frac{\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{2}\right) ] Упростим аргументы: [ \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + x + \frac{\pi}{4} - x}{2}\right) = \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) ] [ \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + x - \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{2}\right) = \sin\left(\frac{2x}{2}\right) = \sin x ]

   Поэтому: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin x ]

   Поскольку (\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}), получаем: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sqrt{2} \sin x ]

3. Теперь для второго множителя (\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)): [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \sin\left(\frac{\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{2}\right) \cos\left(\frac{\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{2}\right) ] Упростим аргументы: [ \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + x + \frac{\pi}{4} - x}{2}\right) = \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) ] [ \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + x - \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{2}\right) = \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = \cos x ]

   Поэтому: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos x ]

   Поскольку (\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}), получаем: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \sqrt{2} \cos x ]

4. Соединяем оба результата: [ \sin^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = (\sqrt{2} \sin x)(\sqrt{2} \cos x) = 2 \sin x \cos x ]

5. Используем формулу удвоенного угла для синуса: [ 2 \sin x \cos x = \sin(2x) ]

Таким образом, конечное упрощенное выражение: [ \sin^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sin(2x) ]

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой для разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Применим данную формулу к выражению sin^2(pi/4 + x) - sin^2(pi/4 - x):

(sin(pi/4 + x) + sin(pi/4 - x))(sin(pi/4 + x) - sin(pi/4 - x)).

Теперь воспользуемся формулами приведения для синусов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b).

Подставим данные формулы в полученное выражение:

((sqrt(2)/2 cos(x) + sqrt(2)/2 sin(x)) + (sqrt(2)/2 cos(x) - sqrt(2)/2 sin(x))) ((sqrt(2)/2 cos(x) + sqrt(2)/2 sin(x)) - (sqrt(2)/2 cos(x) - sqrt(2)/2 * sin(x))).

Раскроем скобки и упростим:

(2 sqrt(2)/2 cos(x)) (2 sqrt(2)/2 * sin(x)).

Сократим коэффициенты и получим:

2 sin(x) cos(x) = sin(2x).

Таким образом, исходное выражение sin^2(pi/4 + x) - sin^2(pi/4 - x) равно sin(2x).

Используем формулу разности квадратов для синусов: sin^2(a) - sin^2(b) = (sin(a) + sin(b))(sin(a) - sin(b))

Применим эту формулу к данному выражению: (sin(pi/4 + x) + sin(pi/4 - x))(sin(pi/4 + x) - sin(pi/4 - x))

Теперь упростим выражение: (sin(pi/4)cos(x) + cos(pi/4)sin(x))(sin(pi/4)cos(x) - cos(pi/4)sin(x)) (√2/2cos(x) + √2/2sin(x))(√2/2cos(x) - √2/2sin(x))

Умножаем скобки: (√2/2)^2 (cos^2(x) - sin^2(x)) 2/4 (cos^2(x) - sin^2(x)) 1/2 (cos^2(x) - sin^2(x)) 1/2 cos(2x)