Помогите срочно, последний вопрос в тесте Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии...

Конечно, давайте разберем этот вопрос детально.

Для начала напомним, что такое геометрическая прогрессия. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на постоянный множитель, называемый знаменателем прогрессии.

Пусть ( b_1 ) — первый член геометрической прогрессии, а ( q ) — её знаменатель. Тогда любой член ( b_n ) прогрессии можно выразить как: [ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

В нашем случае нам даны ( b_3 ) и ( b_6 ): [ b_3 = \frac{2}{3} ] [ b_6 = \frac{2}{81} ]

Используя формулу для общего члена геометрической прогрессии, запишем два уравнения: [ b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{2}{3} ] [ b_6 = b_1 \cdot q^5 = \frac{2}{81} ]

Теперь разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от ( b_1 ): [ \frac{b_6}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^2} = q^3 ] [ \frac{\frac{2}{81}}{\frac{2}{3}} = q^3 ] [ \frac{2}{81} \cdot \frac{3}{2} = q^3 ] [ \frac{3}{81} = q^3 ] [ \frac{1}{27} = q^3 ] [ q = \frac{1}{3} ]

Теперь, зная ( q ), подставим его в одно из уравнений, чтобы найти ( b_1 ): [ b_3 = b_1 \cdot q^2 ] [ \frac{2}{3} = b_1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 ] [ \frac{2}{3} = b_1 \cdot \frac{1}{9} ] [ b_1 = \frac{2}{3} \cdot 9 ] [ b_1 = 6 ]

Итак, первый член прогрессии ( b_1 = 6 ), а знаменатель ( q = \frac{1}{3} ).

Теперь найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (если (|q| < 1)) имеет вид: [ S = \frac{b_1}{1 - q} ]

Подставим наши значения: [ S = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} ] [ S = \frac{6}{\frac{2}{3}} ] [ S = 6 \cdot \frac{3}{2} ] [ S = 9 ]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии необходимо использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a1/(1 - r),

где a1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Из условия известно, что b3 = 2/3 и b6 = 2/81.

Так как b3 = a1 r^2 и b6 = a1 r^5, можно составить систему уравнений:

2/3 = a1 r^2, 2/81 = a1 r^5.

Решив данную систему уравнений, найдем, что a1 = 2/9 и r = 1/3.

Подставив значения a1 и r в формулу суммы прогрессии, получим:

S = (2/9)/(1 - 1/3) = (2/9)/(2/3) = 1/3.

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1/3.