Помогите решить : Квадратичная функция задана формулой : a)y=x^2-4x+7 б)y=-2x^2-5x-2 найдите координаты...

Чтобы найти координаты вершины параболы, заданной квадратичной функцией, мы можем воспользоваться формулой для координат вершины параболы, заданной в общем виде: (y = ax^2 + bx + c). Вершина параболы имеет координаты:

[ x_{в} = -\frac{b}{2a} ]

После нахождения (x{в}) мы можем подставить это значение в уравнение функции, чтобы найти (y{в}).

a) Функция (y = x^2 - 4x + 7)

1. Определим коэффициенты: (a = 1), (b = -4), (c = 7).
2. Находим (x{в}): [ x{в} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 ]
3. Теперь подставим (x{в}) в уравнение функции, чтобы найти (y{в}): [ y_{в} = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 ]
4. Таким образом, вершина параболы (a) находится в точке ((2, 3)).

b) Функция (y = -2x^2 - 5x - 2)

1. Определим коэффициенты: (a = -2), (b = -5), (c = -2).
2. Находим (x{в}): [ x{в} = -\frac{-5}{2 \cdot -2} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4} ]
3. Теперь подставим (x{в}) в уравнение функции, чтобы найти (y{в}): [ y_{в} = -2\left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{4}\right) - 2 ] [ = -2 \cdot \frac{25}{16} + \frac{25}{4} - 2 ] [ = -\frac{50}{16} + \frac{100}{16} - \frac{32}{16} ] [ = -\frac{50 + 32 - 100}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} ]
4. Таким образом, вершина параболы (b) находится в точке (\left(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8}\right)).

Схематическое изображение

Теперь давайте изобразим схематически графики этих парабол.

• Парабола (y = x^2 - 4x + 7):

  • Вершина: ((2, 3))
  • Ось симметрии: (x = 2)
  • Направление: вверх (так как (a > 0))

• Парабола (y = -2x^2 - 5x - 2):

  • Вершина: (\left(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8}\right)) (что примерно равно ((-1.25, 1.125)))
  • Ось симметрии: (x = -\frac{5}{4})
  • Направление: вниз (так как (a < 0))

Графическое представление

1. График первой функции:

   • Начертите координатную плоскость.
   • Отметьте точку ((2, 3)).
   • Проведите вертикальную линию (ось симметрии) через (x = 2).
   • Нарисуйте параболу, направленную вверх, с вершиной в ((2, 3)).

2. График второй функции:

   • Отметьте точку ((-1.25, 1.125)).
   • Проведите вертикальную линию (ось симметрии) через (x = -1.25).
   • Нарисуйте параболу, направленную вниз, с вершиной в ((-1.25, 1.125)).

Таким образом, вы получите два графика, показывающих вершины и оси симметрии обеих парабол.

Для нахождения координат вершины параболы, заданной квадратичной функцией, необходимо воспользоваться стандартной формулой координат вершины. Если квадратичная функция имеет вид:

[ y = ax^2 + bx + c, ]

то координаты вершины параболы определяются следующим образом:

1. x-координата вершины:
   [ x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a}. ]

2. y-координата вершины:
   [ y{\text{в}} = y(x{\text{в}}) = a(x{\text{в}})^2 + b(x{\text{в}}) + c. ]

Теперь решим каждую из функций отдельно.

Часть а) ( y = x^2 - 4x + 7 )

1. Определим коэффициенты: ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 7 ).

2. Найдём x-координату вершины:
   [ x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. ]

3. Найдём y-координату вершины:
   Подставляем ( x{\text{в}} = 2 ) в функцию:
   [ y{\text{в}} = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3. ]

4. Координаты вершины параболы:
   [ (2, 3). ]

5. Ось симметрии:
   Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Уравнение оси симметрии:
   [ x = 2. ]

6. График: Парабола открыта вверх (так как ( a = 1 > 0 )). Вершина в точке ( (2, 3) ).

Часть б) ( y = -2x^2 - 5x - 2 )

1. Определим коэффициенты: ( a = -2 ), ( b = -5 ), ( c = -2 ).

2. Найдём x-координату вершины:
   [ x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}. ]

3. Найдём y-координату вершины:
   Подставляем ( x{\text{в}} = -\frac{5}{4} ) в функцию. Это требует немного вычислений:
   [ y{\text{в}} = -2\left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{4}\right) - 2. ] Сначала вычислим ( \left(-\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} ):
   [ y{\text{в}} = -2 \cdot \frac{25}{16} - 5 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) - 2. ] [ y{\text{в}} = -\frac{50}{16} + \frac{25}{4} - 2. ] Приведём всё к общему знаменателю:
   [ -\frac{50}{16} + \frac{100}{16} - \frac{32}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}. ]

4. Координаты вершины параболы:
   [ \left(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8}\right). ]

5. Ось симметрии:
   Уравнение оси симметрии:
   [ x = -\frac{5}{4}. ]

6. График: Парабола открыта вниз (так как ( a = -2 < 0 )). Вершина в точке ( \left(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8}\right) ).

Схематический график

1. Для параболы из части а):

   • Вершина: ( (2, 3) ),
   • Ось симметрии: ( x = 2 ),
   • Парабола открыта вверх.

2. Для параболы из части б):

   • Вершина: ( \left(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8}\right) ),
   • Ось симметрии: ( x = -\frac{5}{4} ),
   • Парабола открыта вниз.

На координатной плоскости вы можете изобразить вершины и провести оси симметрии. Примерное поведение графиков можно показать на основании знака ( a ): если ( a > 0 ), парабола открыта вверх, если ( a < 0 ), парабола открыта вниз.