Помогите решить \[2log _{ \frac{1}{5}} 10-log_{ \frac{1}{5}}28+{ \frac{3}{2}}log_{ \frac{1}{5}} \sqrt[3]{49}...

[ 2\log{\frac{1}{5}}10 - \log{\frac{1}{5}}28 + \frac{3}{2}\log{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{49} ] [ = \log{\frac{1}{5}}10^2 - \log{\frac{1}{5}}28 + \log{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{49}^{3/2} ] [ = \log{\frac{1}{5}}100 - \log{\frac{1}{5}}28 + \log{\frac{1}{5}}7 ] [ = \log{\frac{1}{5}}\left(\frac{100 \cdot 7}{28}\right) ] [ = \log_{\frac{1}{5}}25 ] [ = 2 ]

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов:

1. ( log{a}b - log{a}c = log_{a} \frac{b}{c} )
2. ( log{a}b^{n} = n \cdot log{a}b )

Применяя данные свойства, преобразуем выражение:

[ 2log { \frac{1}{5}} 10-log{ \frac{1}{5}}28+{ \frac{3}{2}}log{ \frac{1}{5}} \sqrt[3]{49} ]
[ = log{ \frac{1}{5}} 10^{2} - log{ \frac{1}{5}} 28 + log{ \frac{1}{5}} \sqrt[3]{49^{3}} ]
[ = log{ \frac{1}{5}} 100 - log{ \frac{1}{5}} 28 + log_{ \frac{1}{5}} 49 ]

Теперь заменим числа 100, 28 и 49 на эквивалентные им степени числа 1/5:

[ = log{ \frac{1}{5}} (5^{-2}) - log{ \frac{1}{5}} (5^{1}) + log{ \frac{1}{5}} (7^{2}) ]
[ = log{ \frac{1}{5}} 5^{-2} - log{ \frac{1}{5}} 5 + log{ \frac{1}{5}} 7^{2} ]
[ = -2 - 1 + 2 \cdot log{ \frac{1}{5}} 7 ]
[ = -3 + 2 \cdot log{ \frac{1}{5}} 7 ]

Таким образом, данное выражение равно:
[ -3 + 2 \cdot log_{ \frac{1}{5}} 7 ]

Давайте разберемся с данным выражением и упростим его шаг за шагом. Выражение, которое нужно упростить, выглядит так:

[ 2\log{\frac{1}{5}} 10 - \log{\frac{1}{5}} 28 + \frac{3}{2}\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[3]{49} ]

Для начала, напомним, что можно использовать свойства логарифмов для упрощения выражений:

1. ( a \log_b c = \log_b c^a )
2. (\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c})

Применим первое свойство логарифмов к каждому члену:

1. (2\log{\frac{1}{5}} 10 = \log{\frac{1}{5}} 10^2 = \log_{\frac{1}{5}} 100)
2. (\frac{3}{2}\log{\frac{1}{5}} \sqrt[3]{49} = \log{\frac{1}{5}} \left(\sqrt[3]{49}\right)^{\frac{3}{2}})

Теперь упростим второй логарифм:

[ \left(\sqrt[3]{49}\right)^{\frac{3}{2}} = (49^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}} = 49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7 ]

Таким образом, (\frac{3}{2}\log{\frac{1}{5}} \sqrt[3]{49} = \log{\frac{1}{5}} 7).

Теперь наше выражение выглядит так:

[ \log{\frac{1}{5}} 100 - \log{\frac{1}{5}} 28 + \log_{\frac{1}{5}} 7 ]

Применим второе свойство логарифмов:

[ = \log_{\frac{1}{5}} \frac{100 \cdot 7}{28} ]

Посчитаем внутреннее выражение:

[ \frac{100 \cdot 7}{28} = \frac{700}{28} ]

Сократим дробь:

[ \frac{700}{28} = 25 ]

Теперь наше выражение:

[ \log_{\frac{1}{5}} 25 ]

Преобразуем это выражение, используя свойство логарифма:

[ \log{\frac{1}{5}} 25 = \frac{\log{10} 25}{\log{10} \frac{1}{5}} = \frac{\log{10} 25}{-\log_{10} 5} ]

Мы знаем, что (\log{10} 25 = 2 \log{10} 5), поэтому:

[ = \frac{2 \log{10} 5}{-\log{10} 5} = -2 ]

Таким образом, значение данного выражения равно (-2).