Помогите решить 1)Переведите 1,25π из радианной меры в градусную 2) Перевидите -150° из градусной меры в радианную 3) Приведите к функциям углов от 0° до 45°: а) sin(-252°); б) cos 1130° 4) Найдите корни уравнения 2 sin (x-1)=-√2 , принадлежащие промежутку [0;2π]
1) Для перевода радиан в градусы нужно умножить значение в радианах на 180/π. Таким образом, 1,25π * 180/π = 225°.
2) Для перевода градусов в радианы нужно умножить значение в градусах на π/180. Таким образом, -150° * π/180 = -5π/6 радиан.
3) а) Для нахождения значений sin и cos для углов вне диапазона от 0 до 360 градусов, можно использовать периодичность функций: -252° = -360° + 108°, поэтому sin(-252°) = sin(108°) = sin(180° + 108°) = sin(72°). Поскольку 72° находится в диапазоне от 0° до 90°, то sin(72°) = sin(180° - 72°) = sin(108°) = sin(72°) = sin(72°).
b) Для угла 1130° можно воспользоваться периодичностью косинуса: 1130° = 3 * 360° + 50°, поэтому cos(1130°) = cos(50°).
4) Найдем корни уравнения 2sin(x-1) = -√2 в промежутке [0;2π]: Перенесем -√2 на другую сторону и разделим на 2: sin(x-1) = -√2 / 2 = -1/√2. Так как sin(π/4) = 1/√2, то sin(x-1) = -1/√2 равносильно sin(x-1) = -sin(π/4). Это возможно только если x-1 = π - π/4, то есть x = 5π/4. Проверим, что это действительно корень уравнения: 2sin(5π/4 - 1) = 2sin(π/4) = 2 * 1/√2 = √2, что совпадает с правой частью уравнения. Таким образом, корень уравнения 2sin(x-1)=-√2, принадлежащий промежутку [0;2π], равен x = 5π/4.
Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.
1) Перевод из радианной меры в градусную:
Для перевода угол из радиан в градусы используется формула: [ \text{градусы} = \text{радианы} \times \left(\frac{180^\circ}{\pi}\right) ]
Подставим значение 1,25π: [ 1,25\pi \times \left(\frac{180^\circ}{\pi}\right) = 1,25 \times 180^\circ = 225^\circ ]
Таким образом, 1,25π радиан соответствует 225 градусам.
2) Перевод из градусной меры в радианную:
Для перевода угол из градусов в радианы используется формула: [ \text{радианы} = \text{градусы} \times \left(\frac{\pi}{180^\circ}\right) ]
Подставим значение -150°: [ -150^\circ \times \left(\frac{\pi}{180^\circ}\right) = -\frac{150\pi}{180} = -\frac{5\pi}{6} ]
Таким образом, -150° соответствует (-\frac{5\pi}{6}) радиан.
3) Приведение к функциям углов от 0° до 45°:
а) ( \sin(-252^\circ) )
Сначала найдем положительный эквивалент угла: [ -252^\circ + 360^\circ = 108^\circ ]
Теперь приведем к углам от 0° до 45°: 108° находится во второй четверти, и для синуса: [ \sin(108^\circ) = \sin(180^\circ - 72^\circ) = \sin(72^\circ) ]
б) ( \cos(1130^\circ) )
Находим эквивалент угла в пределах 0° до 360°: [ 1130^\circ \mod 360^\circ = 110^\circ ]
Теперь приведем к углам от 0° до 45°: 110° находится во второй четверти, и для косинуса: [ \cos(110^\circ) = -\cos(180^\circ - 110^\circ) = -\cos(70^\circ) ]
4) Найдем корни уравнения ( 2 \sin(x-1) = -\sqrt{2} ), принадлежащие промежутку [0;2π]:
Сначала упростим уравнение: [ \sin(x-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]
Синус принимает значение (-\frac{\sqrt{2}}{2}) в следующих точках: [ x - 1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x - 1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n ]
Решим для (x): 1) ( x = -\frac{\pi}{4} + 1 + 2\pi n ) 2) ( x = -\frac{3\pi}{4} + 1 + 2\pi n )
Теперь найдём значения (x) в пределах [0, 2π]:
Для первого уравнения: [ x = -\frac{\pi}{4} + 1 + 2\pi n ] Подставим (n = 1): [ x = -\frac{\pi}{4} + 1 + 2\pi = \frac{7\pi}{4} + 1 ]
Для второго уравнения: [ x = -\frac{3\pi}{4} + 1 + 2\pi n ] Подставим (n = 1): [ x = -\frac{3\pi}{4} + 1 + 2\pi = \frac{5\pi}{4} + 1 ]
Проверим, какие из полученных значений находятся в пределах [0, 2π]. В результате получаем, что (x = \frac{7\pi}{4} + 1) и (x = \frac{5\pi}{4} + 1) удовлетворяют условию задачи.
Таким образом, корни уравнения на заданном промежутке — это (x = \frac{5\pi}{4} + 1) и (x = \frac{7\pi}{4} + 1).
