Помогите пжлст Сравните корень из 7 минус корень из 5 и корень из 13 минус корень из 11

Корень из 7 минус корень из 5 меньше, чем корень из 13 минус корень из 11.

Чтобы сравнить выражения (\sqrt{7} - \sqrt{5}) и (\sqrt{13} - \sqrt{11}), можно использовать метод рационализации или просто оценить численно.

1. Метод рационализации:

Рассмотрим разность (\sqrt{7} - \sqrt{5}).

Рационализируем её, умножив и разделив на сопряженное выражение:

[ (\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2. ]

Следовательно,

[ \sqrt{7} - \sqrt{5} = \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}. ]

Теперь аналогично для (\sqrt{13} - \sqrt{11}):

[ (\sqrt{13} - \sqrt{11})(\sqrt{13} + \sqrt{11}) = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{11})^2 = 13 - 11 = 2. ]

Следовательно,

[ \sqrt{13} - \sqrt{11} = \frac{2}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}. ]

Сравнение:

Теперь сравним (\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}) и (\frac{2}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}).

Заметим, что (\sqrt{7} + \sqrt{5} < \sqrt{13} + \sqrt{11}), так как (\sqrt{7} \approx 2.645), (\sqrt{5} \approx 2.236), (\sqrt{13} \approx 3.606), и (\sqrt{11} \approx 3.317).

Таким образом, знаменатель (\sqrt{7} + \sqrt{5}) меньше, чем (\sqrt{13} + \sqrt{11}), следовательно, (\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}) больше, чем (\frac{2}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}).

Вывод:

(\sqrt{7} - \sqrt{5} > \sqrt{13} - \sqrt{11}).

2. Численное сравнение:

Для более наглядной проверки можно вычислить численные значения:

(\sqrt{7} \approx 2.64575), (\sqrt{5} \approx 2.23607).

Таким образом, (\sqrt{7} - \sqrt{5} \approx 2.64575 - 2.23607 = 0.40968).

(\sqrt{13} \approx 3.60555), (\sqrt{11} \approx 3.31662).

Таким образом, (\sqrt{13} - \sqrt{11} \approx 3.60555 - 3.31662 = 0.28893).

Численно видно, что (0.40968 > 0.28893).

Таким образом, (\sqrt{7} - \sqrt{5} > \sqrt{13} - \sqrt{11}).

Для сравнения корня из 7 минус корня из 5 и корня из 13 минус корня из 11, можно воспользоваться формулой разности квадратов. Рассмотрим выражение (корень из 7 - корень из 5)(корень из 7 + корень из 5). По формуле разности квадратов это равно 7 - 5 = 2. Таким образом, корень из 7 минус корень из 5 равно 2/(корень из 7 + корень из 5).

Аналогично, для корня из 13 минус корня из 11 можно использовать ту же формулу и получить 13 - 11 = 2. Таким образом, корень из 13 минус корень из 11 равно 2/(корень из 13 + корень из 11).

Теперь сравним оба выражения: 2/(корень из 7 + корень из 5) и 2/(корень из 13 + корень из 11).

Можно заметить, что корни из 7 и 5 ближе друг к другу, чем корни из 13 и 11. Поэтому значение выражения 2/(корень из 7 + корень из 5) будет меньше, чем значение выражения 2/(корень из 13 + корень из 11).

Таким образом, корень из 7 минус корень из 5 меньше, чем корень из 13 минус корень из 11.