Помогите пожалуйста x+под корнем x в квадрате+ 26х+169, при х меньше или равно -13

Рассмотрим выражение:
[ x + \sqrt{x^2 + 26x + 169}. ] И сказано, что (x \leq -13).

Шаг 1: Упрощение подкоренного выражения

Под корнем находится квадратный трёхчлен:
[ x^2 + 26x + 169. ]

Заметим, что это полный квадрат:
[ x^2 + 26x + 169 = (x + 13)^2. ]

Поэтому можно переписать выражение так:
[ x + \sqrt{x^2 + 26x + 169} = x + \sqrt{(x + 13)^2}. ]

Шаг 2: Упрощение корня

Корень из квадрата числа ((x + 13)^2) равен модулю (|x + 13|):
[ \sqrt{(x + 13)^2} = |x + 13|. ]

Теперь выражение становится:
[ x + |x + 13|. ]

Шаг 3: Раскрытие модуля

Модуль (|x + 13|) раскрывается в зависимости от знака выражения (x + 13):

1. Если (x + 13 \geq 0), то (|x + 13| = x + 13).
2. Если (x + 13 < 0), то (|x + 13| = -(x + 13)).

Так как нам дано условие (x \leq -13), это означает, что (x + 13 \leq 0). Следовательно:
[ |x + 13| = -(x + 13). ]

Подставляем это в выражение:
[ x + |x + 13| = x - (x + 13). ]

Шаг 4: Упрощение выражения

Упростим:
[ x - (x + 13) = x - x - 13 = -13. ]

Ответ:

Для всех (x \leq -13), значение выражения
[ x + \sqrt{x^2 + 26x + 169} ] равно (-13).

Давайте рассмотрим выражение ( x + \sqrt{x^2 + 26x + 169} ).

Сначала упростим подкоренное выражение ( x^2 + 26x + 169 ). Это квадратный трёхчлен, который можно представить в виде полного квадрата.

Для этого найдем, как можно разложить его:

[ x^2 + 26x + 169 = (x + 13)^2 ]

Теперь подставим это обратно в изначальное выражение:

[ x + \sqrt{(x + 13)^2} ]

Так как ( x \leq -13 ), то ( x + 13 \leq 0 ). Следовательно, корень из квадратного выражения будет равен:

[ \sqrt{(x + 13)^2} = -(x + 13) ]

Таким образом, выражение принимает следующий вид:

[ x - (x + 13) = x - x - 13 = -13 ]

Итак, для ( x \leq -13 ) значение выражения ( x + \sqrt{x^2 + 26x + 169} ) равно (-13).

Таким образом, окончательный ответ:

[ x + \sqrt{x^2 + 26x + 169} = -13 \quad \text{при } x \leq -13. ]