Помогите пожалуйста упростите выражение 1-ctg^2(-x)/tg(x-pi)-1*ctg(3pi/2-x)/ctg(pi+x)

Конечно, давайте упростим выражение шаг за шагом.

Выражение, которое нужно упростить: [ 1 - \frac{\cot^2(-x)}{\tan(x-\pi)} - 1 \cdot \frac{\cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}{\cot(\pi + x)} ]

Шаг 1: Упростим каждую тригонометрическую функцию.

Для (\cot^2(-x)):

[ \cot(-x) = -\cot(x) \implies \cot^2(-x) = \cot^2(x) ]

Для (\tan(x - \pi)):

[ \tan(x - \pi) = \tan(x) ]

Для (\cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)):

[ \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \tan(x) \quad \text{(так как } \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \theta \right) = \tan(\theta) \text{)} ]

Для (\cot(\pi + x)):

[ \cot(\pi + x) = -\cot(x) ]

Теперь подставим упрощенные выражения обратно:

Шаг 2: Подставляем упрощенные значения.

[ 1 - \frac{\cot^2(x)}{\tan(x)} - 1 \cdot \frac{\tan(x)}{-\cot(x)} ]

Шаг 3: Упростим выражение.

Для первой части:

[ \frac{\cot^2(x)}{\tan(x)} = \frac{\cot^2(x)}{\frac{1}{\cot(x)}} = \cot^3(x) ]

Для второй части:

[ \frac{\tan(x)}{-\cot(x)} = \frac{\tan(x)}{-\frac{1}{\tan(x)}} = -\tan^2(x) ]

Теперь выражение стало: [ 1 - \cot^3(x) - (-\tan^2(x)) ]

Шаг 4: Сокращение и приведение к единому виду.

[ 1 - \cot^3(x) + \tan^2(x) ]

Учитывая, что (\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}), можем выразить (\tan^2(x)) через (\cot(x)): [ \tan^2(x) = \frac{1}{\cot^2(x)} ]

Итак, окончательная форма упрощенного выражения: [ 1 - \cot^3(x) + \frac{1}{\cot^2(x)} ]

Это и будет ответ.

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. ctg(-x) = -ctg(x)
2. ctg(3pi/2 - x) = -tan(x)
3. ctg(pi + x) = -ctg(x)

Теперь подставим данные замены в исходное выражение:

1 - (-ctg(x))^2 / tg(x - pi) - 1 * (-tan(x)) / (-ctg(x))

1 - ctg^2(x) / (-tg(pi - x)) + tan(x) / ctg(x)

1 + ctg^2(x) / tg(x) + tan(x) / ctg(x)

1 + ctg^2(x) / tg(x) + sin(x) / cos(x)

1 + cos^2(x) / sin(x) + sin(x) / cos(x)

(1 + cos^2(x) + sin^2(x)) / sin(x)

(1 + 1) / sin(x)

2 / sin(x)

Ответ: 2 / sin(x)