Помогите пожалуйста решить задачу в классе из 20 человек знают английский 10 человек,а немецкий 15 человек.Сколько...

Давайте разберём задачу и решим её внимательно.

Условие:

В классе из 20 человек:

• 10 человек знают английский язык;
• 15 человек знают немецкий язык.

Нужно найти, сколько человек в классе знают ровно один из этих двух языков. То есть тех, кто знает только английский или только немецкий.

Шаг 1. Обозначим множества:

• ( A ) — множество людей, которые знают английский;
• ( N ) — множество людей, которые знают немецкий.

Согласно условию:

• ( |A| = 10 ) (мощность множества ( A ), то есть количество людей, знающих английский);
• ( |N| = 15 ) (мощность множества ( N )).

Шаг 2. Используем формулу объединения множеств:

Общее количество людей, которые знают хотя бы один язык (английский или немецкий), равно: [ |A \cup N| = |A| + |N| - |A \cap N|, ] где ( |A \cap N| ) — количество людей, которые знают оба языка (английский и немецкий).

Шаг 3. Учтём, что всего в классе 20 человек:

Так как в классе всего 20 человек, то: [ |A \cup N| \leq 20. ]

Шаг 4. Возможные варианты для ( |A \cap N| ):

Количество людей, которые знают оба языка (( |A \cap N| )), может варьироваться. Давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Если ( |A \cap N| = 5 ), то: [ |A \cup N| = 10 + 15 - 5 = 20. ] Это возможно, так как ( |A \cup N| \leq 20 ). Здесь все 20 человек знают хотя бы один язык.

2. Если ( |A \cap N| > 5 ), то: [ |A \cup N| = 10 + 15 - |A \cap N|, ] но в этом случае ( |A \cup N| ) будет меньше 20, что нарушает условие (так как в классе 20 человек).

Таким образом, единственно возможный вариант: [ |A \cap N| = 5. ]

Шаг 5. Найдём людей, которые знают ровно один язык:

Люди, которые знают только английский, — это: [ |A \setminus N| = |A| - |A \cap N| = 10 - 5 = 5. ]

Люди, которые знают только немецкий, — это: [ |N \setminus A| = |N| - |A \cap N| = 15 - 5 = 10. ]

Общее количество людей, которые знают ровно один язык: [ |A \setminus N| + |N \setminus A| = 5 + 10 = 15. ]

Ответ:

В классе 15 человек знают ровно один язык (5 только английский и 10 только немецкий).

Для решения задачи применим принцип включения-исключения, который поможет определить количество учеников, знающих ровно один из двух языков.

Обозначим:

• ( A ) — множество учеников, знающих английский язык.
• ( B ) — множество учеников, знающих немецкий язык.

Из условия задачи известно:

• ( |A| = 10 ) (количество учащихся, знающих английский),
• ( |B| = 15 ) (количество учащихся, знающих немецкий),
• ( |A \cup B| \leq 20 ) (всего учащихся в классе).

Мы хотим найти количество учеников, знающих ровно один язык. Это можно выразить как: [ |A \setminus B| + |B \setminus A| = |A| + |B| - 2|A \cap B| ] где ( |A \setminus B| ) — количество учащихся, знающих только английский, ( |B \setminus A| ) — количество учащихся, знающих только немецкий, ( |A \cap B| ) — количество учащихся, знающих оба языка.

Теперь нам нужно найти возможные значения ( |A \cap B| ).

Согласно принципу включения-исключения, общее количество учащихся, знающих хотя бы один язык, не может превышать 20: [ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \leq 20 ] Подставим известные значения: [ 10 + 15 - |A \cap B| \leq 20 ] Решим это неравенство: [ 25 - |A \cap B| \leq 20 ] [ |A \cap B| \geq 5 ] Таким образом, количество учащихся, знающих оба языка, не может быть меньше 5.

Теперь найдем максимальное значение ( |A \cap B| ). Поскольку общее количество учащихся в классе 20, и мы знаем, что ( |A| = 10 ) и ( |B| = 15 ), максимальное значение ( |A \cap B| ) можно определить из следующего: [ |A \cap B| \leq |A| \quad \text{и} \quad |A \cap B| \leq |B| ] Следовательно, максимальное значение ( |A \cap B| ) ограничено также числом 10.

Таким образом, возможные значения ( |A \cap B| ): [ 5 \leq |A \cap B| \leq 10 ]

Теперь подставим возможные значения ( |A \cap B| ) в формулу для подсчета количества учеников, знающих ровно один язык:

1. Если ( |A \cap B| = 5 ): [ |A \setminus B| + |B \setminus A| = 10 + 15 - 2 \cdot 5 = 10 ]

2. Если ( |A \cap B| = 6 ): [ |A \setminus B| + |B \setminus A| = 10 + 15 - 2 \cdot 6 = 8 ]

3. Если ( |A \cap B| = 7 ): [ |A \setminus B| + |B \setminus A| = 10 + 15 - 2 \cdot 7 = 6 ]

4. Если ( |A \cap B| = 8 ): [ |A \setminus B| + |B \setminus A| = 10 + 15 - 2 \cdot 8 = 4 ]

5. Если ( |A \cap B| = 9 ): [ |A \setminus B| + |B \setminus A| = 10 + 15 - 2 \cdot 9 = 2 ]

6. Если ( |A \cap B| = 10 ): [ |A \setminus B| + |B \setminus A| = 10 + 15 - 2 \cdot 10 = 0 ]

Таким образом, количество учеников, знающих ровно один язык, может принимать значения: 10, 8, 6, 4, 2, 0.