Помогите пожалуйста решить неравенство : 4-9х^2 *дробь*10-х *больше или ровно* 0

Для решения данного неравенства сначала упростим выражение в левой части неравенства:

4 - 9х^2 * 10 - х ≥ 0 4 - 90х^2 - х ≥ 0 -90х^2 - х + 4 ≥ 0

Теперь приведем уравнение к стандартному виду ax^2 + bx + c ≥ 0:

-90х^2 - х + 4 ≥ 0 Умножим на -1 для удобства: 90х^2 + x - 4 ≤ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 90х^2 + x - 4 = 0: D = b^2 - 4ac = 1 + 1440 = 1441 x1 = (-1 + sqrt(1441)) / 180 x2 = (-1 - sqrt(1441)) / 180

Теперь построим таблицу знаков и найдем интервалы, удовлетворяющие неравенству:

x < x1: (-) (-) (-) = (-) - неравенство не выполняется x1 < x < x2: (+) (-) (-) = (+) - неравенство выполняется x > x2: (+) (+) (-) = (-) - неравенство не выполняется

Таким образом, решением данного неравенства является интервал: x1 < x < x2

Давайте разберем данное неравенство:

[ \frac{4 - 9x^2}{10 - x} \geq 0 ]

Для решения этого неравенства нам нужно рассмотреть знаки числителя и знаменателя.

1. Числитель: (4 - 9x^2)

   Это квадратное выражение, и его можно переписать как:

   [ 4 - 9x^2 = 2^2 - (3x)^2 = (2 - 3x)(2 + 3x) ]

   Корни этого выражения находятся, решая:

   [ 4 - 9x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (2 - 3x)(2 + 3x) = 0 ]

   Получаем корни: (x = \frac{2}{3}) и (x = -\frac{2}{3}).

   Таким образом, числитель меняет знак в этих точках.

2. Знаменатель: (10 - x)

   Знаменатель равен нулю при (x = 10).

3. Определение промежутков:

   Важные точки: (x = -\frac{2}{3}), (x = \frac{2}{3}), (x = 10).

   Разобьем числовую ось на интервалы, используя эти точки:

   [ (-\infty, -\frac{2}{3}), \quad (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}), \quad (\frac{2}{3}, 10), \quad (10, \infty) ]

4. Анализ знаков:

   • Интервал ((- \infty, -\frac{2}{3})):

     Подставим точку (x = -1):

     [ 4 - 9(-1)^2 = 4 - 9 = -5 \quad (\text{отрицательный}) ] [ 10 - (-1) = 11 \quad (\text{положительный}) ]

     (\Rightarrow) Дробь отрицательна.

   • Интервал ((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})):

     Подставим точку (x = 0):

     [ 4 - 9 \cdot 0^2 = 4 \quad (\text{положительный}) ] [ 10 - 0 = 10 \quad (\text{положительный}) ]

     (\Rightarrow) Дробь положительна.

   • Интервал ((\frac{2}{3}, 10)):

     Подставим точку (x = 1):

     [ 4 - 9 \cdot 1^2 = 4 - 9 = -5 \quad (\text{отрицательный}) ] [ 10 - 1 = 9 \quad (\text{положительный}) ]

     (\Rightarrow) Дробь отрицательна.

   • Интервал ((10, \infty)):

     Подставим точку (x = 11):

     [ 4 - 9 \cdot 11^2 = 4 - 1089 = -1085 \quad (\text{отрицательный}) ] [ 10 - 11 = -1 \quad (\text{отрицательный}) ]

     (\Rightarrow) Дробь положительна.

5. Учет равенства и исключения:

   • В точках (x = -\frac{2}{3}) и (x = \frac{2}{3}) числитель равен нулю, поэтому дробь равна нулю.
   • В точке (x = 10) дробь не определена, так как знаменатель обращается в ноль.

6. Ответ:

   Решением неравенства является объединение интервалов, где дробь положительна или равна нулю:

   [ x \in \left[-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right] \cup (10, \infty) ]