Помогите пожалуйста решить квадратное уравнение через теорему Виета: х2-10х+25=0

Квадратное уравнение (x^2 - 10x + 25 = 0) можно решить с помощью теоремы Виета.

Согласно теореме, для уравнения вида (x^2 + bx + c = 0) сумма корней (x_1 + x_2 = -b), а произведение корней (x_1 \cdot x_2 = c).

В данном уравнении:

• (b = -10)
• (c = 25)

Сумма корней: (x_1 + x_2 = 10) (так как (-(-10) = 10))

Произведение корней: (x_1 \cdot x_2 = 25)

Корни уравнения — это такие числа, которые в сумме дают 10 и в произведении 25. Это числа 5 и 5.

Таким образом, корни уравнения: (x_1 = 5) и (x_2 = 5). Уравнение имеет один корень с кратностью 2: (x = 5).

Для решения квадратного уравнения (x^2 - 10x + 25 = 0) с помощью теоремы Виета, сначала необходимо обратить внимание на его общую форму:

[ ax^2 + bx + c = 0 ]

В данном случае коэффициенты следующие:

• (a = 1)
• (b = -10)
• (c = 25)

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) сумма корней (x_1 + x_2) равна (-\frac{b}{a}), а произведение корней (x_1 \cdot x_2) равно (\frac{c}{a}).

В нашем случае:

• Сумма корней:

[ x_1 + x_2 = -\frac{-10}{1} = 10 ]

• Произведение корней:

[ x_1 \cdot x_2 = \frac{25}{1} = 25 ]

Теперь мы знаем, что сумма корней (x_1 + x_2 = 10) и произведение (x_1 \cdot x_2 = 25).

Рассмотрим два числа, которые в сумме дают 10 и в произведении 25. Это можно записать в виде системы уравнений:

1. (x_1 + x_2 = 10)
2. (x_1 \cdot x_2 = 25)

Чтобы найти корни, выразим (x_2) через (x_1) из первого уравнения:

[ x_2 = 10 - x_1 ]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

[ x_1(10 - x_1) = 25 ]

Раскроем скобки и приведем все к стандартному виду:

[ 10x_1 - x_1^2 = 25 ]

[ -x_1^2 + 10x_1 - 25 = 0 ]

Умножим на -1, чтобы получить стандартную форму квадратного уравнения:

[ x_1^2 - 10x_1 + 25 = 0 ]

Теперь мы видим, что уравнение можно решить, заметив, что оно имеет вид полного квадрата:

[ (x_1 - 5)^2 = 0 ]

Это уравнение имеет единственный корень:

[ x_1 - 5 = 0 \implies x_1 = 5 ]

Поскольку сумма корней равна 10, то второй корень также будет:

[ x_2 = 10 - x_1 = 10 - 5 = 5 ]

Таким образом, оба корня равны:

[ x_1 = 5, \quad x_2 = 5 ]

Итак, окончательный ответ: уравнение (x^2 - 10x + 25 = 0) имеет два одинаковых корня (x = 5).

Чтобы решить квадратное уравнение (x^2 - 10x + 25 = 0) через теорему Виета, давайте поэтапно разберем весь процесс.

Шаг 1. Обозначение коэффициентов

Стандартный вид квадратного уравнения: [ ax^2 + bx + c = 0 ] В данном уравнении: [ a = 1, \, b = -10, \, c = 25. ]

Шаг 2. Формулировка теоремы Виета

Согласно теореме Виета, если (x_1) и (x_2) — корни квадратного уравнения, то выполняются следующие свойства:

1. Сумма корней: [ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}. ]
2. Произведение корней: [ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}. ]

Подставляем значения коэффициентов (a = 1), (b = -10), (c = 25):

1. Сумма корней: [ x_1 + x_2 = -\frac{-10}{1} = 10. ]
2. Произведение корней: [ x_1 \cdot x_2 = \frac{25}{1} = 25. ]

Шаг 3. Поиск корней

Теперь нам нужно найти такие числа (x_1) и (x_2), которые одновременно удовлетворяют этим двум условиям:

1. (x_1 + x_2 = 10),
2. (x_1 \cdot x_2 = 25).

Заметим, что уравнение является приведенным квадратным уравнением, и (c = 25) — это точный квадрат числа 5. Логично предположить, что оба корня совпадают.

Проверим: если (x_1 = x_2 = 5), то:

1. Сумма корней: (5 + 5 = 10) — верно.
2. Произведение корней: (5 \cdot 5 = 25) — верно.

Таким образом, оба корня равны 5.

Шаг 4. Проверка через дискриминант (дополнительно)

Для проверки решения можно дополнительно использовать формулу дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac. ] Подставляем значения (a = 1), (b = -10), (c = 25): [ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0. ] Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет единственный корень (два совпадающих корня). Это подтверждает наше решение.

Ответ:

Корень уравнения (оба корня совпадают): [ x_1 = x_2 = 5. ]