Помогите пожалуйста решить и, желательно, с объяснением: 5sinX+cosX=5

5sinX + cosX = 5

Перепишем уравнение в виде 5sinX = 5 - cosX

Теперь воспользуемся тригонометрическими формулами:

sin^2X + cos^2X = 1

sin^2X = 1 - cos^2X

Подставим это равенство в уравнение:

5(1 - cos^2X) = 5 - cosX

5 - 5cos^2X = 5 - cosX

5cos^2X - cosX = 0

cosX(5cosX - 1) = 0

cosX = 0 или cosX = 1/5

Теперь найдем значения угла X, удовлетворяющие этим условиям:

1) cosX = 0 X = π/2 + πn, где n - целое число

2) cosX = 1/5 X = arccos(1/5) + 2πn или X = -arccos(1/5) + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решение уравнения 5sinX + cosX = 5 имеет вид: X = π/2 + πn, arccos(1/5) + 2πn или -arccos(1/5) + 2πn, где n - целое число.

Для решения уравнения 5sin(X) + cos(X) = 5 нужно преобразовать его таким образом, чтобы получить выражение в виде sin(X) или cos(X) с одной стороны равенства.

Для этого воспользуемся тригонометрической формулой сложения cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b).

5sin(X) + cos(X) = 5 5sin(X) + √(1 - sin^2(X)) = 5 (заменяем cos(X) на √(1 - sin^2(X)) по формуле косинуса)

Теперь выразим sin(X) через новую переменную, например, t = sin(X):

5t + √(1 - t^2) = 5

Решим это уравнение как квадратное относительно переменной t:

√(1 - t^2) = 5 - 5t 1 - t^2 = (5 - 5t)^2 1 - t^2 = 25 - 50t + 25t^2 26t^2 - 50t + 24 = 0 13t^2 - 25t + 12 = 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

t1,2 = (25 ± √(25^2 - 41312))/(2*13) t1 = 1, t2 = 12/13

Таким образом, sin(X) = 1 или sin(X) = 12/13. Для нахождения X возьмем обратный синус от найденных значений:

X1 = arcsin(1) = π/2 + 2πk, где k - целое число X2 = arcsin(12/13) + 2πk, где k - целое число

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Давайте решим уравнение (5\sin X + \cos X = 5).

Шаг 1: Изолируем одну из тригонометрических функций

Уравнение имеет вид:

[ 5\sin X + \cos X = 5. ]

Для простоты, попробуем выразить (\cos X) через (\sin X):

[ \cos X = 5 - 5\sin X. ]

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество

Мы знаем, что:

[ \sin^2 X + \cos^2 X = 1. ]

Подставим выражение для (\cos X) в это тождество:

[ \sin^2 X + (5 - 5\sin X)^2 = 1. ]

Шаг 3: Упростим выражение

Раскроем скобки и упростим:

[ \sin^2 X + (25 - 50\sin X + 25\sin^2 X) = 1. ]

[ 26\sin^2 X - 50\sin X + 25 = 1. ]

[ 26\sin^2 X - 50\sin X + 24 = 0. ]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Это квадратное уравнение относительно (\sin X):

[ 26u^2 - 50u + 24 = 0, ]

где ( u = \sin X ).

Используем дискриминант для решения:

Дискриминант (D = b^2 - 4ac):

[ D = (-50)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 24 = 2500 - 2496 = 4. ]

Корни уравнения:

[ u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 2}{52}. ]

[ u_1 = \frac{52}{52} = 1, ]

[ u_2 = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}. ]

Шаг 5: Найдем значения X

1. Для (u_1 = 1):

   (\sin X = 1). Это происходит, когда (X = \frac{\pi}{2} + 2\pi n), где (n) — целое число.

2. Для (u_2 = \frac{12}{13}):

   (\sin X = \frac{12}{13}). Для этого значения мы находим (X) как:

   (X = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2\pi n) и (X = \pi - \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2\pi n).

Таким образом, решения уравнения:

[ X = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, ]

[ X = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2\pi n, ]

[ X = \pi - \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2\pi n, ]

где (n) — целое число.