Помогите пожалуйста)) Найти точку минимума функции: y=(x-10)^2*e^x-6

Чтобы найти точку минимума функции ( y = (x-10)^2 e^x - 6 ), нужно выполнить несколько шагов, включающих нахождение производной, критических точек и проверку второй производной. Давайте разберём это пошагово.

1. Найдём первую производную функции ( y ):

Функция дана в виде ( y = (x-10)^2 e^x - 6 ). Для нахождения её производной, применим правило произведения и цепное правило.

[ y' = \frac{d}{dx} [(x-10)^2 e^x] ]

Разложим это на части. Пусть ( u = (x-10)^2 ) и ( v = e^x ). Тогда ( y = u \cdot v ), и по правилу произведения:

[ y' = u'v + uv' ]

Теперь найдём производные ( u ) и ( v ):

[ u = (x-10)^2 \implies u' = 2(x-10) ]

[ v = e^x \implies v' = e^x ]

Подставим эти производные в формулу:

[ y' = 2(x-10) e^x + (x-10)^2 e^x ]

Сгруппируем общий множитель ( e^x ):

[ y' = e^x [2(x-10) + (x-10)^2] ]

Упростим это выражение:

[ y' = e^x [(x-10)(2 + x - 10)] ]

[ y' = e^x [(x-10)(x - 8)] ]

1. Найдём критические точки:

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В нашем случае:

[ y' = e^x (x-10)(x-8) = 0 ]

Поскольку ( e^x \neq 0 ) для всех ( x ):

[ (x-10)(x-8) = 0 ]

Это уравнение равняется нулю, когда ( x = 10 ) или ( x = 8 ).

1. Проверим вторую производную, чтобы определить характер критических точек:

Найдём вторую производную ( y ). Для этого опять используем правило произведения и цепное правило. Напомним, что первая производная была:

[ y' = e^x (x-10)(x-8) ]

Для удобства можем обозначить ( u = (x-10)(x-8) ) и ( v = e^x ):

[ y' = uv ]

[ y'' = u'v + uv' ]

Найдём ( u' ):

[ u = (x-10)(x-8) ]

[ u' = (x-10)'(x-8) + (x-10)(x-8)' ]

[ u' = 1 \cdot (x-8) + (x-10) \cdot 1 ]

[ u' = x - 8 + x - 10 = 2x - 18 ]

Теперь ( v' = e^x ), тогда:

[ y'' = (2x - 18)e^x + (x-10)(x-8)e^x ]

[ y'' = e^x [(2x - 18) + (x-10)(x-8)] ]

Подставим ( x = 10 ):

[ y''(10) = e^{10} [(2 \cdot 10 - 18) + (10-10)(10-8)] ]

[ y''(10) = e^{10} [2 + 0] = 2e^{10} ]

Поскольку ( e^{10} ) — положительное число, ( y''(10) > 0 ), что указывает на то, что ( x = 10 ) — точка минимума.

Подставим ( x = 8 ):

[ y''(8) = e^8 [(2 \cdot 8 - 18) + (8-10)(8-8)] ]

[ y''(8) = e^8 [(16 - 18) + 0] = -2e^8 ]

Поскольку ( -2e^8 ) — отрицательное число, ( y''(8) < 0 ), что указывает на то, что ( x = 8 ) — точка максимума.

Итак, точка минимума функции ( y = (x-10)^2 e^x - 6 ) находится в ( x = 10 ).

Для нахождения точки минимума функции y=(x-10)^2*e^x-6 необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю. Затем решив уравнение производной равной нулю, найдем значение x, которое соответствует точке минимума.

1. Найдем производную функции y=(x-10)^2*e^x-6: y' = 2(x-10)e^x + (x-10)^2e^x

2. Приравняем производную к нулю и найдем точку, где производная равна нулю: 2(x-10)e^x + (x-10)^2e^x = 0

3. Решим уравнение для x: 2(x-10)e^x + (x-10)^2e^x = 0 e^x(2(x-10) + (x-10)^2) = 0 e^x(2x-20 + x^2-20x+100) = 0 e^x(x^2-18x+80) = 0

4. Найдем корни уравнения e^x(x^2-18x+80) = 0 и выберем тот, который соответствует точке минимума.

После решения уравнения и выбора корня, найдем значение x и подставим его обратно в исходную функцию y=(x-10)^2*e^x-6, чтобы найти значение y и точку минимума функции.