Для решения задачи обозначим переменные и составим уравнения на основе данных условий.
Пусть:
- ( v ) — скорость катера в стоячей воде, км/ч.
- ( v_{\text{течения}} = 3 ) км/ч — скорость течения реки.
Скорость катера по течению будет ( v + 3 ) км/ч, а против течения — ( v - 3 ) км/ч.
Теперь составим уравнения, используя формулу для времени: ( \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ).
Время, затраченное на движение по течению:
[
t_1 = \frac{36}{v + 3}
]
Время, затраченное на движение против течения:
[
t_2 = \frac{48}{v - 3}
]
По условию, общее время в пути составляет 6 часов:
[
t_1 + t_2 = 6
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в уравнение:
[
\frac{36}{v + 3} + \frac{48}{v - 3} = 6
]
Теперь найдем общий знаменатель и решим уравнение:
[
\frac{36(v - 3) + 48(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 6
]
Раскроем скобки в числителе:
[
36v - 108 + 48v + 144 = 6(v^2 - 9)
]
Упростим числитель:
[
84v + 36 = 6(v^2 - 9)
]
Перенесем все на одну сторону уравнения:
[
6v^2 - 84v - 54 = 0
]
Разделим уравнение на 6:
[
v^2 - 14v - 9 = 0
]
Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 196 + 36 = 232
]
Найдем корни уравнения:
[
v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{232}}{2}
]
Упростим:
[
\sqrt{232} = \sqrt{4 \times 58} = 2\sqrt{58}
]
Поэтому:
[
v_{1,2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{58}}{2} = 7 \pm \sqrt{58}
]
Нас интересует положительное значение скорости, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно:
[
v = 7 + \sqrt{58}
]
Приблизительно:
[
v \approx 7 + 7.62 = 14.62 \, \text{км/ч}
]
Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет приблизительно 14.62 км/ч.