Под общим корнем (3-2 корень из 2) упростить

( \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1 )

Для упрощения выражения под общим корнем (3-2√2) мы можем сначала раскрыть скобки, используя правило умножения двух сумм вида (a-b)(c-d), которое гласит: (a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd. Таким образом, у нас получится:

3 - 2√2 = 3 - 2√2

Затем мы можем сложить два выражения внутри корня, чтобы упростить его. В данном случае у нас только одно выражение, поэтому результат останется тем же:

√(3 - 2√2) = √(3 - 2√2)

Таким образом, выражение под общим корнем (3-2√2) не может быть дальше упрощено, и остается в том же виде.

Чтобы упростить выражение под общим корнем, такое как (\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}), мы можем попробовать представить его в виде разности квадратов двух чисел. Это полезно, поскольку позволяет избавиться от корня из выражения. Давайте попробуем следующее:

1. Предположим, что (\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}), где (a) и (b) — некоторые числа, которые нам нужно найти.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

[ 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ]

1. Раскроем квадрат разности:

[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} ]

1. Сравним выражения:

[ 3 - 2\sqrt{2} = a + b - 2\sqrt{ab} ]

Это дает нам систему уравнений:

[ a + b = 3 ]

[ -2\sqrt{ab} = -2\sqrt{2} ]

1. Из второго уравнения следует, что (\sqrt{ab} = \sqrt{2}), отсюда (ab = 2).

Теперь у нас есть система уравнений:

[ a + b = 3 ]

[ ab = 2 ]

1. Решим эту систему. Это система квадратного уравнения, корни которой (a) и (b). Мы можем использовать формулу квадрата:

Пусть (x^2 - (a+b)x + ab = 0), подставим наши уравнения:

[ x^2 - 3x + 2 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 ]

1. Найдем корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2} ]

[ x_1 = 2, \quad x_2 = 1 ]

Таким образом, (a = 2) и (b = 1).

1. Проверим:

[ \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1 ]

1. Следовательно, (\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1).

Таким образом, выражение (\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}) можно упростить до (\sqrt{2} - 1).