Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2 , а его гипотенуза равна 10 см. каковы катеты треугольника?

Для решения этой задачи обозначим катеты прямоугольного треугольника через ( a ) и ( b ). Известно, что площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 24 \, \text{см}^2 ]

Отсюда:

[ a \cdot b = 48 ]

Также известно, что гипотенуза ( c = 10 ) см. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора:

[ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставим значение гипотенузы:

[ a^2 + b^2 = 10^2 = 100 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( a \cdot b = 48 )
2. ( a^2 + b^2 = 100 )

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим один из катетов, например, ( b ):

[ b = \frac{48}{a} ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100 ]

Умножим всё уравнение на ( a^2 ), чтобы избавиться от дроби:

[ a^4 + 2304 = 100a^2 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

[ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0 ]

Это биквадратное уравнение, сделаем замену: ( x = a^2 ). Тогда уравнение станет:

[ x^2 - 100x + 2304 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение по формуле корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{100 \pm \sqrt{100^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 9216}}{2} ]

[ x = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} ]

[ x = \frac{100 \pm 28}{2} ]

Получаем два корня:

1. ( x_1 = \frac{100 + 28}{2} = 64 )
2. ( x_2 = \frac{100 - 28}{2} = 36 )

Вернемся к переменной ( a ): ( a^2 = 64 ) или ( a^2 = 36 ). Соответственно, ( a = 8 ) или ( a = 6 ).

Если ( a = 8 ), то ( b = \frac{48}{8} = 6 ).

Если ( a = 6 ), то ( b = \frac{48}{6} = 8 ).

Таким образом, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 a b, где a и b - катеты треугольника.

Известно, что площадь треугольника равна 24 см2, а гипотенуза равна 10 см. Также известно, что S = 0.5 a b и b = 10 см.

Подставим данные в формулу:

24 = 0.5 a 10 24 = 5a a = 24 / 5 a = 4.8 см

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 4.8 см и 10 см.