Первый член геометрической прогрессии = 2 разность между 3 и 2 членами этой прогрессии = 12 найдите...

Давайте разберемся с условиями задачи и найдем второй и третий члены геометрической прогрессии.

1. Обозначения и условия:

   • Первый член геометрической прогрессии ( a_1 = 2 ).
   • Разность между третьим и вторым членами прогрессии: ( a_3 - a_2 = 12 ).

2. Формула общего члена геометрической прогрессии: В геометрической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии (обозначим его через ( q )) следующим образом: [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]

3. Выражение для второго и третьего членов:

   • Второй член: ( a_2 = a_1 \cdot q = 2q ).
   • Третий член: ( a_3 = a_1 \cdot q^2 = 2q^2 ).

4. Условие разности между третьим и вторым членами: [ a_3 - a_2 = 2q^2 - 2q = 12 ]

5. Упростим уравнение: [ 2q^2 - 2q = 12 ] Разделим обе части уравнения на 2: [ q^2 - q = 6 ] Приведем к квадратному уравнению: [ q^2 - q - 6 = 0 ]

6. Решение квадратного уравнения: Уравнение ( q^2 - q - 6 = 0 ) решим с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 ]

   Найдем корни уравнения: [ q_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2} ]

   [ q_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 ] [ q_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 ]

7. Найдем второй и третий члены прогрессии:

   Для ( q = 3 ):

   • Второй член: ( a_2 = 2 \cdot 3 = 6 )
   • Третий член: ( a_3 = 2 \cdot 3^2 = 18 )

   Для ( q = -2 ):

   • Второй член: ( a_2 = 2 \cdot (-2) = -4 )
   • Третий член: ( a_3 = 2 \cdot (-2)^2 = 8 )

Таким образом, существуют два варианта для второй и третьей членов прогрессии:

1. ( a_2 = 6 ), ( a_3 = 18 ) при ( q = 3 ).
2. ( a_2 = -4 ), ( a_3 = 8 ) при ( q = -2 ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами для геометрической прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен ( a ), разность между вторым и первым членом равна ( b ), а между третьим и вторым членами равна ( c ).

Из условия задачи у нас имеются следующие данные: ( a = 2 ), ( b = 12 ).

Также известно, что для геометрической прогрессии выполняется формула: [ b = ar, ] где ( r ) - знаменатель прогрессии.

Теперь, подставим известные значения и найдем знаменатель прогрессии: [ 12 = 2r \Rightarrow r = 6. ]

Теперь, чтобы найти второй член прогрессии, нужно умножить первый член на знаменатель: [ a_2 = a \cdot r = 2 \cdot 6 = 12. ]

Таким образом, второй член геометрической прогрессии равен 12.

Аналогично, чтобы найти третий член прогрессии, нужно умножить второй член на знаменатель: [ a_3 = a_2 \cdot r = 12 \cdot 6 = 72. ]

Итак, второй член геометрической прогрессии равен 12, а третий член - 72.