Первообразная корня из х ?
Первообразная корня из х ?
Первообразная (или неопределённый интеграл) функции (\sqrt{x}) вычисляется с учётом общего правила интегрирования степенных функций.
Функция (\sqrt{x}) может быть представлена как (x^{1/2}). Для нахождения первообразной степенной функции (x^n), где (n \neq -1), используется формула:
[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, ]
где (C) — произвольная постоянная интегрирования.
В данном случае (n = \frac{1}{2}). Подставим это значение в формулу:
[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C. ]
Чтобы упростить результат, деление на (3/2) можно записать как умножение на (2/3):
[ \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C. ]
Итак, первообразная функции (\sqrt{x}) равна:
[ \frac{2}{3} x^{3/2} + C, ]
где (C) — произвольная постоянная интегрирования.
Что такое первообразная? Первообразная функции — это такая функция, производная которой равна исходной. В данном случае, если мы найдем производную от (\frac{2}{3}x^{3/2} + C), то вернёмся к (\sqrt{x}).
Почему (C) добавляется? Постоянная (C) добавляется, так как производная от любой константы равна нулю. Это означает, что существует бесконечно много функций, производная которых равна (\sqrt{x}), и они отличаются на константу.
Геометрический смысл? Первообразная функции (\sqrt{x}) описывает семейство кривых, каждая из которых является "анти-производной" для (\sqrt{x}). Эти кривые отличаются только вертикальным сдвигом, определённым постоянной (C).
Если нужно найти определённый интеграл (например, (\int_1^4 \sqrt{x} \, dx)), то для этого применяется основная теорема анализа: [ \int_a^b \sqrt{x} \, dx = \left[\frac{2}{3} x^{3/2} \right]_a^b = \frac{2}{3} b^{3/2} - \frac{2}{3} a^{3/2}. ]
Таким образом, первообразная (\sqrt{x}) используется для решения задач, связанных с нахождением площади под кривой, описываемой данной функцией.
Для нахождения первообразной функции ( f(x) = \sqrt{x} ), то есть ( f(x) = x^{1/2} ), нам нужно применить правило интегрирования степенной функции.
Формула для нахождения первообразной от функции ( x^n ) (где ( n \neq -1 )) выглядит следующим образом:
[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
В нашем случае ( n = \frac{1}{2} ). Подставим это значение в формулу:
[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C ]
Теперь упростим дробь:
[ \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} ]
Таким образом, первообразная функции ( \sqrt{x} ) будет равна:
[ \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C ]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
Важно помнить, что эта первообразная определена для ( x \geq 0 ), так как функция ( \sqrt{x} ) определена только для неотрицательных значений ( x ) в действительных числах.
