Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то...

Пусть длина прямоугольника равна х см, а ширина - у см. Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом:

2x + 2y = 70, (x - 5)(y + 5) - xy = 50.

Решив данную систему уравнений, получаем x = 20 см и y = 15 см. Таким образом, длина первоначального прямоугольника равна 20 см, а ширина - 15 см.

Обозначим длину прямоугольника за (l), а ширину за (w). Таким образом, периметр прямоугольника равен (2l + 2w = 70). После изменения размеров длины и ширины получаем систему уравнений: (\begin{cases} l - 5 + w + 5 = l + w \ (l - 5)(w + 5) - lw = 50 \end{cases}) Раскроем скобки и упростим уравнения: (\begin{cases} l + w = 35 \ lw - 5l + 5w - 25 = 50 \end{cases}) Подставим первое уравнение во второе и решим полученное уравнение: (35 - 5l + 5w - 25 = 50) (10 - 5l + 5w = 50) (-5l + 5w = 40) (w = l + 7) Подставим это в первое уравнение: (l + (l + 7) = 35) (2l + 7 = 35) (2l = 28) (l = 14) (w = 14 + 7 = 21) Итак, длина первоначального прямоугольника равна 14 см, а ширина 21 см.

Давайте обозначим длину прямоугольника как ( x ) см, а ширину — ( y ) см. Из условий задачи у нас есть два уравнения.

Первое уравнение связано с периметром прямоугольника: [ 2x + 2y = 70 ] или, упростив, получим: [ x + y = 35 \quad \text{(1)} ]

Второе уравнение связано с изменением площади прямоугольника при изменении его размеров. Если длину уменьшить на 5 см, то она станет ( x - 5 ) см. Если ширину увеличить на 5 см, то она станет ( y + 5 ) см. Новая площадь прямоугольника будет равна: [ (x - 5)(y + 5) ]

По условию задачи, новая площадь больше исходной на 50 см²: [ (x - 5)(y + 5) = xy + 50 ]

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения: [ xy + 5x - 5y - 25 = xy + 50 ]

Сократим ( xy ) с обеих сторон: [ 5x - 5y - 25 = 50 ]

Перенесем -25 в правую часть уравнения: [ 5x - 5y = 75 ]

Разделим обе части уравнения на 5: [ x - y = 15 \quad \text{(2)} ]

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений: 1) ( x + y = 35 ) 2) ( x - y = 15 )

Решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения: [ (x + y) + (x - y) = 35 + 15 ] [ 2x = 50 ] [ x = 25 ]

Теперь подставим значение ( x ) в первое уравнение: [ 25 + y = 35 ] [ y = 10 ]

Таким образом, первоначальные длина и ширина прямоугольника равны ( x = 25 ) см и ( y = 10 ) см соответственно.

Давайте проверим решение. Периметр: [ 2x + 2y = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 10 = 50 + 20 = 70 ]

Изменение площади: Исходная площадь: [ xy = 25 \cdot 10 = 250 \ \text{см}^2 ]

Новая площадь: [ (25 - 5)(10 + 5) = 20 \cdot 15 = 300 \ \text{см}^2 ]

Разность площадей: [ 300 - 250 = 50 \ \text{см}^2 ]

Все условия задачи выполнены, значит, ответ правильный. Итак, длина прямоугольника — 25 см, а ширина — 10 см.