Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м . Какой длины должны быть стороны...

Конечно! Давайте разберёмся с задачей по шагам.

1. Обозначения и условия:

   • Обозначим длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда через $a$ и $b$.
   • Периметр основания прямоугольного параллелепипеда равен 8 м. Это можно записать как: $2a+2b=8\text{или}a+b=4$
   • Высота параллелепипеда равна 3 м.
   • Объём параллелепипеда $V$ можно выразить через длины сторон основания и высоту: $V=a\cdot b\cdot h=a\cdot b\cdot 3=3ab$

2. Цель:

   • Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, чтобы объём $V$ был максимальным.

3. Подставим выражение для $b$:

   • Из уравнения $a+b=4$ выразим $b$: $b=4-a$
   • Подставим это в выражение для объёма: $V=3ab=3a(4-a)=12a-3a^2$

4. Максимизация объёма:

   • Чтобы найти максимум функции $V(a$ = 12a - 3a^2 ), найдём её производную и приравняем к нулю: $V^{\prime }(a)=12-6a$ $12-6a=0$ $6a=12$ $a=2$

5. Найдём $b$:

   • Подставим найденное значение $a$ в уравнение $b=4-a$: $b=4-2=2$

6. Проверка на максимум:

   • Чтобы убедиться, что это действительно максимум, можно проверить, что вторая производная отрицательна: $V^{″}(a)=-6$ Так как $V^{″}(a$ = -6 < 0 ), функция имеет максимум в точке $a=2$.

7. Ответ:

   • Длины сторон основания, при которых объём параллелепипеда будет наибольшим, равны $a=2$ м и $b=2$ м.

Таким образом, для максимального объёма параллелепипеда стороны основания должны быть равны 2 м и 2 м.

Для нахождения наибольшего объема параллелепипеда с известным периметром основания и высотой, нужно использовать метод дифференцирования. Обозначим длину и ширину основания как x и y соответственно.

Так как периметр основания равен 8 м, то 2x + 2y = 8, или x + y = 4.

Объем параллелепипеда V = x y h, где h - высота параллелепипеда, равная 3 м.

Так как x + y = 4, то y = 4 - x.

Подставим это значение в формулу для объема: V = x $4-x$ 3 = 3x$4-x$ = 12x - 3x^2.

Теперь найдем производную функции объема по x: V' = 12 - 6x.

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю и найдем x: 12 - 6x = 0, x = 2.

Таким образом, длина стороны основания должна быть 2 м, а ширина также 2 м, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим.

Проверим, что это точка максимума, а не минимума, подставив значение x = 2 во вторую производную: V'' = -6, что меньше 0, следовательно, это точка максимума.

Для того чтобы найти длины сторон основания, при которых объем параллелепипеда будет наибольшим, нужно использовать метод дифференцирования. Обозначим длину и ширину основания как x и y соответственно. Тогда объем параллелепипеда V = x y h, где h - высота.

По условию задачи, периметр основания равен 8 м: 2x + 2y = 8 ---> x + y = 4 ---> y = 4 - x

Также известно, что высота h = 3 м.

Подставим выражение для y в формулу объема: V = x $4-x$ 3 = 12x - 3x^2

Найдем производную объема по x: V' = 12 - 6x

Чтобы найти экстремум функции $максимум$, приравняем производную к нулю: 12 - 6x = 0 ---> x = 2

Таким образом, одна из сторон основания должна быть равна 2 м. Тогда другая сторона будет равна: y = 4 - 2 = 2 м.

Итак, для получения наибольшего объема параллелепипеда стороны основания должны быть равны 2 м.