Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м . Какой длины должны быть стороны...

Конечно! Давайте разберёмся с задачей по шагам.

1. Обозначения и условия:

   • Обозначим длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда через ( a ) и ( b ).
   • Периметр основания прямоугольного параллелепипеда равен 8 м. Это можно записать как: [ 2a + 2b = 8 \quad \text{или} \quad a + b = 4 ]
   • Высота параллелепипеда равна 3 м.
   • Объём параллелепипеда ( V ) можно выразить через длины сторон основания и высоту: [ V = a \cdot b \cdot h = a \cdot b \cdot 3 = 3ab ]

2. Цель:

   • Нам нужно найти такие значения ( a ) и ( b ), чтобы объём ( V ) был максимальным.

3. Подставим выражение для ( b ):

   • Из уравнения ( a + b = 4 ) выразим ( b ): [ b = 4 - a ]
   • Подставим это в выражение для объёма: [ V = 3ab = 3a(4 - a) = 12a - 3a^2 ]

4. Максимизация объёма:

   • Чтобы найти максимум функции ( V(a) = 12a - 3a^2 ), найдём её производную и приравняем к нулю: [ V'(a) = 12 - 6a ] [ 12 - 6a = 0 ] [ 6a = 12 ] [ a = 2 ]

5. Найдём ( b ):

   • Подставим найденное значение ( a ) в уравнение ( b = 4 - a ): [ b = 4 - 2 = 2 ]

6. Проверка на максимум:

   • Чтобы убедиться, что это действительно максимум, можно проверить, что вторая производная отрицательна: [ V''(a) = -6 ] Так как ( V''(a) = -6 < 0 ), функция имеет максимум в точке ( a = 2 ).

7. Ответ:

   • Длины сторон основания, при которых объём параллелепипеда будет наибольшим, равны ( a = 2 ) м и ( b = 2 ) м.

Таким образом, для максимального объёма параллелепипеда стороны основания должны быть равны 2 м и 2 м.

Для нахождения наибольшего объема параллелепипеда с известным периметром основания и высотой, нужно использовать метод дифференцирования. Обозначим длину и ширину основания как x и y соответственно.

Так как периметр основания равен 8 м, то 2x + 2y = 8, или x + y = 4.

Объем параллелепипеда V = x y h, где h - высота параллелепипеда, равная 3 м.

Так как x + y = 4, то y = 4 - x.

Подставим это значение в формулу для объема: V = x (4 - x) 3 = 3x(4 - x) = 12x - 3x^2.

Теперь найдем производную функции объема по x: V' = 12 - 6x.

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю и найдем x: 12 - 6x = 0, x = 2.

Таким образом, длина стороны основания должна быть 2 м, а ширина также 2 м, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим.

Проверим, что это точка максимума, а не минимума, подставив значение x = 2 во вторую производную: V'' = -6, что меньше 0, следовательно, это точка максимума.

Для того чтобы найти длины сторон основания, при которых объем параллелепипеда будет наибольшим, нужно использовать метод дифференцирования. Обозначим длину и ширину основания как x и y соответственно. Тогда объем параллелепипеда V = x y h, где h - высота.

По условию задачи, периметр основания равен 8 м: 2x + 2y = 8 ---> x + y = 4 ---> y = 4 - x

Также известно, что высота h = 3 м.

Подставим выражение для y в формулу объема: V = x (4 - x) 3 = 12x - 3x^2

Найдем производную объема по x: V' = 12 - 6x

Чтобы найти экстремум функции (максимум), приравняем производную к нулю: 12 - 6x = 0 ---> x = 2

Таким образом, одна из сторон основания должна быть равна 2 м. Тогда другая сторона будет равна: y = 4 - 2 = 2 м.

Итак, для получения наибольшего объема параллелепипеда стороны основания должны быть равны 2 м.