Отношение R : " число x на 3 меньше числа y " задано на множестве X =( 8;2;1 1;5;14) а)постройте график...

Для начала рассмотрим отношение ( R ), заданное условием: "число ( x ) на 3 меньше числа ( y )". Это можно записать в виде уравнения:

[ x = y - 3. ]

Теперь, имея множество ( X = {8, 2, 11, 5, 14} ), мы можем определить пары ((x, y)), которые удовлетворяют этому условию.

а) Построим график отношения ( R ).

1. Рассмотрим каждое число ( y ) из множества ( X ) и найдем соответствующее ( x ), если оно также принадлежит множеству ( X ).

   • Для ( y = 8 ), ( x = 8 - 3 = 5 ). Пара ((x, y) = (5, 8)) подходит, потому что оба числа находятся в ( X ).
   • Для ( y = 2 ), ( x = 2 - 3 = -1 ). Число (-1) не принадлежит множеству ( X ), поэтому этой пары нет.
   • Для ( y = 11 ), ( x = 11 - 3 = 8 ). Пара ((x, y) = (8, 11)) подходит.
   • Для ( y = 5 ), ( x = 5 - 3 = 2 ). Пара ((x, y) = (2, 5)) подходит.
   • Для ( y = 14 ), ( x = 14 - 3 = 11 ). Пара ((x, y) = (11, 14)) подходит.

Таким образом, отношение ( R ) на множестве ( X ) представлено следующими парами: ((5, 8), (8, 11), (2, 5), (11, 14)).

б) Рассмотрим свойства этого отношения.

1. Рефлексивность: Отношение называется рефлексивным, если для любого элемента ( x ) из множества ( X ) выполняется ( (x, x) \in R ). В нашем случае это отношение не является рефлексивным, так как ни одна из пар не имеет форму ((x, x)).

2. Симметричность: Отношение симметрично, если для любых ( x ) и ( y ) из ( X ), из ( (x, y) \in R ) следует ( (y, x) \in R ). Наше отношение не симметрично, так как, например, из ((5, 8) \in R) не следует ((8, 5) \in R).

3. Антисимметричность: Отношение антисимметрично, если для любых ( x ) и ( y ) из ( X ), из ((x, y) \in R) и ((y, x) \in R) следует, что ( x = y ). В данном случае отношение является антисимметричным, так как ни для одной пары ((x, y)) не существует обратной пары ((y, x)).

4. Транзитивность: Отношение транзитивно, если для любых ( x, y, z ) из ( X ), из ((x, y) \in R) и ((y, z) \in R) следует ((x, z) \in R). Наше отношение не транзитивно, так как, например, из ((2, 5) \in R) и ((5, 8) \in R) не следует ((2, 8) \in R).

Таким образом, отношение ( R ) обладает свойством антисимметричности, но не является рефлексивным, симметричным или транзитивным.

а) График отношения R будет содержать точки, где x на 3 меньше y. То есть точки (8, 5), (2, -1), (11, 8), (5, 2).

б) Это отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Например, (x, y) и (y, x) оба принадлежат отношению R, и если (x, y) и (y, z) принадлежат отношению R, то (x, z) тоже принадлежит этому отношению.

а) График отношения R будет представлять собой набор точек на координатной плоскости, где x находится ниже y на 3 единицы. Таким образом, точки будут располагаться на прямых линиях, параллельных оси y и смещенных вниз на 3 единицы. Например, для чисел (8,5), (2,-1), (11,8) и т.д.

б) Это отношение обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности.

1. Рефлексивность: каждое число x из множества X может быть связано с самим собой, так как x на 3 меньше x (например, (8,11) или (2,5)).

2. Транзитивность: если число x на 3 меньше числа y и число y на 3 меньше числа z, то число x на 3 меньше числа z (например, если (8,11) и (11,14), то (8,14)).

3. Антисимметричность: если число x на 3 меньше числа y, то число y не может быть на 3 меньше числа x одновременно (например, если (8,11), то не может быть (11,8)).

Таким образом, отношение R обладает всеми основными свойствами отношений и является четко определенным и структурированным отношением на множестве X.