Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: а)3/√6; б)1(большая дробная черта ) √7-√5; в)1(большая...

а) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби 3/√6 умножим и разделим числитель и знаменатель на √6: 3/√6 = 3/(√6 * √6) = 3√6/6 = √6/2.

б) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби 1/(√7 - √5) умножим и разделим числитель и знаменатель на (√7 + √5): 1/(√7 - √5) = (1 (√7 + √5))/((√7 - √5) (√7 + √5)) = (√7 + √5)/(7 - 5) = (√7 + √5)/2.

в) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби 1/(4 + 2√3) умножим и разделим числитель и знаменатель на (4 - 2√3): 1/(4 + 2√3) = (1 (4 - 2√3))/((4 + 2√3) (4 - 2√3)) = (4 - 2√3)/(16 - 12) = (4 - 2√3)/4 = (2 - √3)/2.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно выполнить рационализацию знаменателя. Давайте разберем каждый из приведенных примеров.

а) (\frac{3}{\sqrt{6}})

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{6}):

[ \frac{3}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} ]

б) (\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}})

Для рационализации такого вида выражений используется прием умножения на сопряженное. Сопряженное к (\sqrt{7} - \sqrt{5}) будет (\sqrt{7} + \sqrt{5}). Умножим числитель и знаменатель на это сопряженное:

[ \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} ]

в) (\frac{1}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}})

Сначала упростим выражение под корнем. Представим (4 + 2\sqrt{3}) как ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2).

Пусть (a^2 + b^2 = 4) и (2ab = 2\sqrt{3}). Из второго уравнения получаем (ab = \sqrt{3}).

Если (a = b = \sqrt{2}), то:

[ a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4 ]

[ 2ab = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, (\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2}).

Теперь найдем обратную дробь:

[ \frac{1}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} ]

Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{2}) для рационализации:

[ \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} ]

Таким образом, мы получили выражения без иррациональности в знаменателе для всех трех случаев.