Освободите дробь от знака корня в знаменателе а) 1/2√5 б) 8/√7 - 1

Чтобы освободить дробь от знака корня в знаменателе, необходимо выполнить процесс, называемый "рационализацией знаменателя". Этот процесс включает умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, которое избавит знаменатель от корня.

а) ( \frac{1}{2\sqrt{5}} )

Чтобы рационализировать знаменатель, умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{5} ):

[ \frac{1}{2\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} ]

В знаменателе ( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 ):

[ \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10} ]

Таким образом, дробь ( \frac{1}{2\sqrt{5}} ) освобождена от знака корня в знаменателе и преобразована в ( \frac{\sqrt{5}}{10} ).

б) ( \frac{8}{\sqrt{7} - 1} )

Здесь знаменатель имеет вид ( \sqrt{7} - 1 ). Для рационализации такого знаменателя необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, которое в данном случае ( \sqrt{7} + 1 ). Это делается для получения разности квадратов, в результате чего корень исчезнет.

[ \frac{8}{\sqrt{7} - 1} \times \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1} = \frac{8(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)} ]

Теперь упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов ( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 ):

[ (\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1) = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6 ]

Таким образом, наша дробь становится:

[ \frac{8(\sqrt{7} + 1)}{6} ]

Теперь разделим числитель на знаменатель:

[ \frac{8\sqrt{7} + 8}{6} = \frac{8\sqrt{7}}{6} + \frac{8}{6} = \frac{4\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3} ]

Итак, дробь ( \frac{8}{\sqrt{7} - 1} ) освобождена от знака корня в знаменателе и преобразована в ( \frac{4\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3} ).

a) Для освобождения дроби от знака корня в знаменателе нужно умножить числитель и знаменатель на √5: 1/2√5 = (1/2√5) * (√5/√5) = √5/10

б) Для освобождения дроби от знака корня в знаменателе нужно умножить числитель и знаменатель на √7: 8/√7 - 1 = (8/√7 - 1) * (√7/√7) = 8√7 - √7/7