Освободите дробь от знака корня в знаменателе а) 1/2√5 б) 8/√7 - 1

Чтобы освободить дробь от знака корня в знаменателе, необходимо выполнить процесс, называемый "рационализацией знаменателя". Этот процесс включает умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, которое избавит знаменатель от корня.

а) $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

Чтобы рационализировать знаменатель, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{1}{2\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}$

В знаменателе $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$:

$\frac{\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{\sqrt{5}}{10}$

Таким образом, дробь $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ освобождена от знака корня в знаменателе и преобразована в $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

б) $\frac{8}{\sqrt{7}-1}$

Здесь знаменатель имеет вид $\sqrt{7}-1$. Для рационализации такого знаменателя необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, которое в данном случае $\sqrt{7}+1$. Это делается для получения разности квадратов, в результате чего корень исчезнет.

$\frac{8}{\sqrt{7}-1}\times \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1}=\frac{8(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)}$

Теперь упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов $(a-b$$a+b$ = a^2 - b^2 ):

$(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)=(\sqrt{7}{)}^2-1^2=7-1=6$

Таким образом, наша дробь становится:

$\frac{8(\sqrt{7}+1)}{6}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{8\sqrt{7}+8}{6}=\frac{8\sqrt{7}}{6}+\frac{8}{6}=\frac{4\sqrt{7}}{3}+\frac{4}{3}$

Итак, дробь $\frac{8}{\sqrt{7}-1}$ освобождена от знака корня в знаменателе и преобразована в $\frac{4\sqrt{7}}{3}+\frac{4}{3}$.

a) Для освобождения дроби от знака корня в знаменателе нужно умножить числитель и знаменатель на √5: 1/2√5 = $1/2\surd 5$ * $\surd 5/\surd 5$ = √5/10

б) Для освобождения дроби от знака корня в знаменателе нужно умножить числитель и знаменатель на √7: 8/√7 - 1 = $8/\surd 7-1$ * $\surd 7/\surd 7$ = 8√7 - √7/7