Определите, сколько решений имеет система уравнений x^2 +y^2=25 x^2-y=-5 помогите пожалуйста
Определите, сколько решений имеет система уравнений x^2 +y^2=25 x^2-y=-5 помогите пожалуйста
Для начала решим второе уравнение относительно x^2: x^2 = y - 5. Подставим это выражение в первое уравнение: (y-5) + y^2 = 25. Получим: y^2 + y - 5 = 25. Преобразуем это уравнение к виду: y^2 + y - 30 = 0. Далее найдем корни этого уравнения: y1 = 5, y2 = -6. Теперь найдем соответствующие значения x^2: для y=5, x^2 = 5 - 5 = 0, и для y=-6, x^2 = -6 - 5 = -11. Таким образом, система имеет два решения: (0, 5) и (-11, -6).
Для того чтобы определить количество решений системы уравнений:
нам нужно найти все возможные пары ( (x, y) ), которые удовлетворяют обеим уравнениям.
Начнем с второго уравнения:
[ x^2 - y = -5 ]
Перепишем его:
[ y = x^2 + 5 ]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:
[ x^2 + (x^2 + 5)^2 = 25 ]
Раскроем скобки и упростим:
[ x^2 + (x^2 + 5)(x^2 + 5) = 25 ] [ x^2 + (x^4 + 10x^2 + 25) = 25 ] [ x^2 + x^4 + 10x^2 + 25 = 25 ] [ x^4 + 11x^2 + 25 - 25 = 0 ] [ x^4 + 11x^2 = 0 ]
Вынесем ( x^2 ) за скобки:
[ x^2(x^2 + 11) = 0 ]
Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:
Рассмотрим первый случай:
[ x^2 = 0 ] [ x = 0 ]
Подставим ( x = 0 ) в выражение для ( y ):
[ y = x^2 + 5 ] [ y = 0 + 5 ] [ y = 5 ]
Таким образом, получаем решение ( (x, y) = (0, 5) ).
Рассмотрим второй случай:
[ x^2 + 11 = 0 ] [ x^2 = -11 ]
Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.
Следовательно, единственное решение системы уравнений в действительных числах — это ( (0, 5) ).
Таким образом, система уравнений имеет одно решение в множестве действительных чисел: ( (0, 5) ).
