Одно из двух натуральных чисел при делении на 13 даёт остаток 7,а другое-остаток 2.Какой остаток получается при делении произведения этих чисел на 13?
Одно из двух натуральных чисел при делении на 13 даёт остаток 7,а другое-остаток 2.Какой остаток получается при делении произведения этих чисел на 13?
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами арифметики остатков.
Пусть два натуральных числа (a) и (b) дают при делении на 13 остатки 7 и 2 соответственно. Это можно записать в виде конгруэнций:
[ a \equiv 7 \pmod{13} ]
[ b \equiv 2 \pmod{13} ]
Нам нужно найти остаток от деления произведения этих чисел (a \times b) на 13. Для этого воспользуемся свойством, согласно которому произведение остатков равно остатку произведения:
[ a \times b \equiv 7 \times 2 \pmod{13} ]
Теперь вычислим произведение остатков:
[ 7 \times 2 = 14 ]
Теперь найдём остаток от деления 14 на 13:
[ 14 \div 13 = 1 \text{ (целая часть)}, \text{ остаток } 14 - 13 \times 1 = 1 ]
Таким образом, остаток от деления произведения (a \times b) на 13 равен 1. То есть:
[ a \times b \equiv 1 \pmod{13} ]
Ответ: При делении произведения этих чисел на 13 получается остаток 1.
Пусть одно из чисел равно x, а другое равно y. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:
x ≡ 7 (mod 13) y ≡ 2 (mod 13)
Теперь найдем значения x и y:
x = 13k + 7, где k - целое число y = 13m + 2, где m - целое число
Тогда произведение этих чисел будет равно:
xy = (13k + 7)(13m + 2) = 169km + 26k + 91m + 14
Теперь найдем остаток от деления произведения этих чисел на 13:
xy ≡ 26k + 91m + 14 ≡ 26k + 91m + 14 ≡ 0 (mod 13)
Ответ: остаток при делении произведения этих чисел на 13 равен 0.
