Одна сторона прямоугольника на 15 см больше другой, а площадь прямоугольника равна 250 см². Определите...

Для решения этой задачи мы можем представить стороны прямоугольника как (x) и (x+15) (так как одна сторона больше другой на 15 см). Зная, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон, мы можем составить уравнение:

[x(x+15) = 250]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

[x^2 + 15x = 250]

[x^2 + 15x - 250 = 0]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители или воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

Где у нас (a = 1), (b = 15), (c = -250). Подставляем значения:

[x_{1,2} = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 41(-250)}}{2*1}]

[x_{1,2} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 1000}}{2}]

[x_{1,2} = \frac{-15 \pm \sqrt{1225}}{2}]

[x_{1,2} = \frac{-15 \pm 35}{2}]

Таким образом, мы получаем два варианта для (x): (x_1 = 10) и (x_2 = -25). Отрицательное значение длины стороны не имеет смысла, поэтому длины сторон прямоугольника равны 10 см и 25 см (10 см + 15 см).

Пусть одна сторона прямоугольника равна х см, тогда другая сторона будет х+15 см. Уравнение для площади прямоугольника: х * (х+15) = 250. Решив это уравнение, получим x = 10 см и х+15 = 25 см. Значит, стороны прямоугольника равны 10 см и 25 см.

Давайте решим задачу вместе.

Обозначим одну сторону прямоугольника как ( x ) (в сантиметрах). Тогда другая сторона будет ( x + 15 ) см, так как она на 15 см больше первой стороны.

Площадь прямоугольника равна длине умноженной на ширину. Это дает уравнение: [ x \cdot (x + 15) = 250 ]

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: [ x^2 + 15x = 250 ]

Теперь перенесем все члены на одну сторону, чтобы уравнение приняло стандартный вид квадратного уравнения: [ x^2 + 15x - 250 = 0 ]

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта. Квадратное уравнение имеет вид ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = 15 ), ( c = -250 ). Дискриминант вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]

Подставим наши значения: [ D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) ] [ D = 225 + 1000 ] [ D = 1225 ]

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим наши значения: [ x = \frac{-15 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{-15 \pm 35}{2} ]

Теперь рассмотрим два возможных значения для ( x ):

1. ( x_1 = \frac{-15 + 35}{2} = \frac{20}{2} = 10 )
2. ( x_2 = \frac{-15 - 35}{2} = \frac{-50}{2} = -25 )

Так как длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, то единственным подходящим решением является ( x = 10 ).

Теперь найдём длины сторон прямоугольника:

• Одна сторона ( x = 10 ) см
• Другая сторона ( x + 15 = 10 + 15 = 25 ) см

Итак, длины сторон прямоугольника равны ( 10 ) см и ( 25 ) см.