Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй — только 15. Каждому из них задают по одному...

Для решения данной задачи определим вероятность правильного ответа каждого студента на заданный вопрос.

Обозначим:

• ( A ) — вероятность того, что первый студент ответит правильно.
• ( B ) — вероятность того, что второй студент ответит правильно.

Первый студент выучил 20 из 25 вопросов, следовательно, вероятность того, что он ответит правильно, равна:

[ P(A) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8 ]

Второй студент выучил 15 из 25 вопросов, следовательно, вероятность того, что он ответит правильно, равна:

[ P(B) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6 ]

Теперь, используя эти вероятности, мы можем рассчитать вероятность различных исходов.

a) Вероятность того, что оба студента ответят правильно

Событие, при котором оба студента отвечают правильно, является независимым, поэтому вероятность того, что оба студента ответят правильно, будет равна произведению их вероятностей:

[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.6 = 0.48 ]

b) Вероятность того, что правильно ответит только первый студент

Для того чтобы правильно ответил только первый студент, он должен ответить правильно, а второй — неправильно. Вероятность этого события:

[ P(A \cap \neg B) = P(A) \cdot P(\neg B) = P(A) \cdot (1 - P(B)) = 0.8 \cdot (1 - 0.6) = 0.8 \cdot 0.4 = 0.32 ]

c) Вероятность того, что правильно ответит только один из них

Событие, при котором правильно отвечает только один из студентов, включает два случая:

1. Правильно отвечает первый студент, неправильно — второй.
2. Неправильно отвечает первый студент, правильно — второй.

Вероятность того, что правильно отвечает только первый студент, мы уже нашли (0.32). Теперь найдем вероятность второго случая:

[ P(\neg A \cap B) = P(\neg A) \cdot P(B) = (1 - P(A)) \cdot P(B) = (1 - 0.8) \cdot 0.6 = 0.2 \cdot 0.6 = 0.12 ]

Теперь сложим эти два случая:

[ P(\text{только один из них}) = P(A \cap \neg B) + P(\neg A \cap B) = 0.32 + 0.12 = 0.44 ]

d) Вероятность того, что хотя бы один из студентов ответит правильно

Событие "хотя бы один из студентов ответит правильно" можно найти, используя формулу для вероятности дополнения (вероятность того, что оба ответят неправильно):

[ P(\neg A) = 1 - P(A) = 1 - 0.8 = 0.2 ] [ P(\neg B) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4 ]

Вероятность того, что оба студента ответят неправильно:

[ P(\neg A \cap \neg B) = P(\neg A) \cdot P(\neg B) = 0.2 \cdot 0.4 = 0.08 ]

Следовательно, вероятность того, что хотя бы один из студентов ответит правильно:

[ P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\neg A \cap \neg B) = 1 - 0.08 = 0.92 ]

Ответы:

а) ( P(A \cap B) = 0.48 )
б) ( P(A \cap \neg B) = 0.32 )
в) ( P(\text{только один из них}) = 0.44 )
г) ( P(\text{хотя бы один}) = 0.92 )

Давайте последовательно решим каждый из пунктов задачи, используя правила теории вероятностей.

Дано:

• Первый студент знает ( 20 ) из ( 25 ) вопросов. Следовательно, вероятность того, что он правильно ответит на случайный вопрос: [ P_1 = \frac{20}{25} = 0.8 ] Вероятность того, что он ответит неправильно: [ P_1' = 1 - P_1 = 1 - 0.8 = 0.2 ]

• Второй студент знает ( 15 ) из ( 25 ) вопросов. Следовательно, вероятность того, что он правильно ответит на случайный вопрос: [ P_2 = \frac{15}{25} = 0.6 ] Вероятность того, что он ответит неправильно: [ P_2' = 1 - P_2 = 1 - 0.6 = 0.4 ]

Теперь переходим к решению пунктов задачи.

а) Найти вероятность того, что оба студента правильно ответят.

Чтобы оба студента правильно ответили, нужно, чтобы первый дал правильный ответ и второй дал правильный ответ. Так как события независимы, вероятность совместного события равна произведению вероятностей: [ P_{\text{оба}} = P_1 \cdot P_2 = 0.8 \cdot 0.6 = 0.48 ]

Ответ: вероятность того, что оба студента правильно ответят, равна ( 0.48 ) или ( 48\% ).

б) Найти вероятность того, что только первый студент правильно ответит.

Для этого нужно, чтобы:

1. Первый студент дал правильный ответ (( P_1 )).
2. Второй студент дал неправильный ответ (( P_2' )).

Вероятность такого исхода: [ P_{\text{только первый}} = P_1 \cdot P_2' = 0.8 \cdot 0.4 = 0.32 ]

Ответ: вероятность того, что только первый студент правильно ответит, равна ( 0.32 ) или ( 32\% ).

в) Найти вероятность того, что только один из студентов правильно ответит.

Для этого нужно сложить вероятности двух несовместных событий:

1. Только первый студент правильно отвечает (( P_1 \cdot P_2' )).
2. Только второй студент правильно отвечает (( P_1' \cdot P_2 )).

Вероятность события: [ P_{\text{только один}} = P_1 \cdot P_2' + P_1' \cdot P_2 ]

Подставляем значения: [ P_{\text{только один}} = (0.8 \cdot 0.4) + (0.2 \cdot 0.6) = 0.32 + 0.12 = 0.44 ]

Ответ: вероятность того, что только один из студентов правильно ответит, равна ( 0.44 ) или ( 44\% ).

г) Найти вероятность того, что хотя бы один из студентов правильно ответит.

"Хотя бы один" — это противоположное событие к тому, что оба студента ответят неправильно. Сначала найдём вероятность того, что оба ответят неправильно: [ P_{\text{оба неправильно}} = P_1' \cdot P_2' = 0.2 \cdot 0.4 = 0.08 ]

Теперь вероятность того, что хотя бы один ответит правильно: [ P{\text{хотя бы один}} = 1 - P{\text{оба неправильно}} = 1 - 0.08 = 0.92 ]

Ответ: вероятность того, что хотя бы один из студентов правильно ответит, равна ( 0.92 ) или ( 92\% ).

Итоговые ответы:

а) ( P{\text{оба}} = 0.48 ) или ( 48\% );
б) ( P{\text{только первый}} = 0.32 ) или ( 32\% );
в) ( P{\text{только один}} = 0.44 ) или ( 44\% );
г) ( P{\text{хотя бы один}} = 0.92 ) или ( 92\% ).