Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить...

Пусть первый завод выполняет заказ за x дней, а второй завод - за (x+4) дня.

При совместной работе они выполнили заказ в 5 раз больший, то есть за 24 дня они выполнили 1/24 от заказа, а работая отдельно, первый завод выполнил бы 1/x от заказа за день, а второй завод - 1/(x+4) от заказа за день.

Таким образом, у нас получается система уравнений:

1/x + 1/(x+4) = 1/24 x(x+4) = 24

Решив данную систему уравнений (например, методом подстановки или методом Крамера), мы найдем значение x, которое будет время выполнения заказа первым заводом, а значение (x+4) - время выполнения заказа вторым заводом.

Пусть первый завод выполняет заказ за x дней, а второй завод за (x+4) дня. Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом: 1/x + 1/(x+4) = 1/24 x(x+4) = 24*5

Решив эту систему уравнений, мы найдем x = 8 дней (для первого завода) и x+4 = 12 дней (для второго завода).

Рассмотрим задачу с помощью системы уравнений. Пусть ( x ) и ( y ) — это время (в днях), за которое первый и второй заводы могут выполнить заказ, работая отдельно.

Из условия задачи известно, что первый завод выполняет заказ на 4 дня быстрее, чем второй: [ x = y - 4 ]

Также известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший. Это значит, что за 24 дня оба завода вместе выполнили работу, эквивалентную выполнению одного заказа за ( x ) дней первым заводом и за ( y ) дней вторым заводом, умноженной на 5.

Работа, выполненная каждым заводом за один день, равна:

• Первый завод: (\frac{1}{x}) заказа в день.
• Второй завод: (\frac{1}{y}) заказа в день.

Совместная работа обоих заводов за один день: [ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ]

За 24 дня они выполнили: [ 24 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) ]

Эта работа эквивалентна выполнению 5 заказов (по условию задачи): [ 24 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 5 ]

Теперь подставим ( x = y - 4 ) в это уравнение: [ 24 \left( \frac{1}{y-4} + \frac{1}{y} \right) = 5 ]

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: [ \frac{1}{y-4} + \frac{1}{y} = \frac{y + (y-4)}{y(y-4)} = \frac{2y - 4}{y(y-4)} = \frac{2(y-2)}{y(y-4)} ]

Теперь уравнение принимает вид: [ 24 \cdot \frac{2(y-2)}{y(y-4)} = 5 ]

Упростим это уравнение: [ \frac{48(y-2)}{y(y-4)} = 5 ]

Перенесем 5 в знаменатель и упростим: [ 48(y-2) = 5y(y-4) ]

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: [ 48y - 96 = 5y^2 - 20y ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ 5y^2 - 68y + 96 = 0 ]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта (D): [ D = b^2 - 4ac = (-68)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 96 = 4624 - 1920 = 2704 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{68 \pm \sqrt{2704}}{10} = \frac{68 \pm 52}{10} ]

Таким образом, мы получаем два корня: [ y_1 = \frac{68 + 52}{10} = 12 ] [ y_2 = \frac{68 - 52}{10} = 1.6 ]

Значение ( y_2 = 1.6 ) не подходит, потому что оно меньше 4, а ( x = y - 4 ) должен быть положительным.

Таким образом, ( y = 12 ) дней — это время, за которое второй завод может выполнить заказ, работая отдельно.

Теперь найдем ( x ): [ x = y - 4 = 12 - 4 = 8 ]

Итак, первый завод выполнит заказ за 8 дней, а второй завод выполнит заказ за 12 дней, работая отдельно.