Один из корней уравнений x^2+kx+45=0. x1=5 Найти корень и коэффициент k

Рассмотрим квадратное уравнение:

[ x^2 + kx + 45 = 0, ]

где (x_1 = 5) — один из корней. Нам нужно найти второй корень ((x_2)) и коэффициент (k).

Для решения этой задачи используем свойства квадратного уравнения, а именно теоремы Виета. Согласно теоремам Виета:

1. Сумма корней уравнения равна (-\frac{b}{a}), где (a) — коэффициент при (x^2), а (b) — коэффициент при (x). В данном случае: [ x_1 + x_2 = -k. ]

2. Произведение корней уравнения равно (\frac{c}{a}), где (c) — свободный член. В данном случае: [ x_1 \cdot x_2 = 45. ]

Шаг 1: Найдем второй корень ((x_2)).

Из условия теоремы Виета: [ x_1 \cdot x_2 = 45. ] Подставим (x_1 = 5): [ 5 \cdot x_2 = 45. ] Разделим обе стороны на 5: [ x_2 = 9. ]

Итак, второй корень: (x_2 = 9).

Шаг 2: Найдем коэффициент (k).

Согласно теореме Виета, сумма корней равна (-k): [ x_1 + x_2 = -k. ] Подставим (x_1 = 5) и (x_2 = 9): [ 5 + 9 = -k. ] Посчитаем: [ 14 = -k. ] Умножим на (-1): [ k = -14. ]

Ответ:

Второй корень: (x_2 = 9).
Коэффициент (k = -14).

Итак, итоговое уравнение будет: [ x^2 - 14x + 45 = 0. ]

Для решения уравнения ( x^2 + kx + 45 = 0 ), где один из корней равен ( x_1 = 5 ), воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) сумма корней ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ) и произведение корней ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} ). В нашем случае, ( a = 1 ), ( b = k ) и ( c = 45 ).

1. Найдем второй корень. Известно, что ( x_1 = 5 ). Обозначим второй корень как ( x_2 ). Тогда по формуле для суммы корней имеем: [ x_1 + x_2 = -k ] Подставим известный корень: [ 5 + x_2 = -k \quad (1) ]

2. Используем произведение корней. Согласно формуле для произведения корней: [ x_1 \cdot x_2 = 45 ] Подставим известный корень: [ 5 \cdot x_2 = 45 ] Отсюда найдем ( x_2 ): [ x_2 = \frac{45}{5} = 9 ]

3. Теперь подставим ( x_2 ) в уравнение (1) для нахождения ( k ): [ 5 + 9 = -k ] [ 14 = -k ] Таким образом, ( k = -14 ).

Теперь у нас есть оба корня уравнения: ( x_1 = 5 ) и ( x_2 = 9 ), а также значение коэффициента ( k ).

1. Подведем итог:
   • Корень: ( x_2 = 9 )
   • Коэффициент: ( k = -14 )

Таким образом, уравнение ( x^2 - 14x + 45 = 0 ) имеет корни ( 5 ) и ( 9 ).

Если один из корней уравнения ( x^2 + kx + 45 = 0 ) равен ( x_1 = 5 ), то второй корень можно найти, используя свойство корней квадратного уравнения.

Согласно теореме Виета, сумма корней ( x_1 + x_2 = -k ) и произведение корней ( x_1 \cdot x_2 = 45 ).

1. Подставляем известный корень: [ 5 + x_2 = -k \quad (1) ] [ 5 \cdot x_2 = 45 \quad (2) ]

2. Из уравнения (2) находим ( x_2 ): [ x_2 = \frac{45}{5} = 9 ]

3. Подставляем ( x_2 ) в уравнение (1): [ 5 + 9 = -k \Rightarrow k = -14 ]

Таким образом, корень ( x_2 = 9 ) и коэффициент ( k = -14 ).